צמתים וקשתות.

שלב 1 מתוך 5

מעיר לגרף

העיר קניגסברג, היום קלינינגרד, נבנתה על נהר הפרגל, שמתפצל סביב אי. ארבעה חלקי יבשה, A עד D, ושבעה גשרים ביניהם. כשלאונרד אוילר חשב על העיר ב־1736, הוא הבין שהצורה של היבשות והאורך של הגשרים לא משנים דבר: חשוב רק מה מחובר למה.

תמונה כזאת נקראת גרף: צמתים (היבשות) וקשתות (הגשרים) שמחברות זוגות של צמתים. הדרגה של צומת היא מספר הקשתות שנוגעות בו. גרפים מתארים כמעט כל רשת: רשתות חברתיות, כבישים, אתרי אינטרנט ונתבים. נבאו, ואז מבט פנימה יכווץ את העיר לגרף.

שלב 2 מתוך 5

דרגות

כל צומת בגרף מסומן בדרגה שלו. כשמחברים את כל הדרגות, כל קשת נספרת פעם אחת בכל קצה שלה.

שלב 3 מתוך 5

לחיצות ידיים

מכאן יוצאת עובדה מפתיעה, למת לחיצות הידיים: במסיבה, מספר האנשים שלחצו מספר אי־זוגי של ידיים הוא תמיד זוגי. סכום הדרגות זוגי, ולכן הצמתים האי־זוגיים באים בזוגות.

שלב 4 מתוך 5

גשר חדש

בסצנה אפשר להסיר גשרים או להוסיף שניים חדשים. כל גשר נוגע בשתי יבשות, ולכן משנה שתי דרגות.

שלב 5 מתוך 5

לספור לאחור

הקשר בין דרגות לקשתות עובד בשני הכיוונים. בגרף של חמישה גשרים, למשל, אפשר לספור את הגשרים, אבל אפשר גם לחבר את הדרגות ולחלק בשתיים.