חלקיקים טעונים בשדות מגנטיים.

אלומה שמסתובבת במעגלים

שגרו חלקיק טעון לתוך שדה מגנטי, והוא לא ימשיך ישר. בסצנה אלומה של יוני ניאון יוצאת מתותח קטן במהירות של 50 קילומטרים בשנייה, וחוצה שדה של 0.1 טסלה שמכוון ישר למעלה דרך התא. האלומה מתעקמת הצידה, ממשיכה להתעקם, ומשלימה סיבוב שלם בחזרה אל נקודת ההתחלה: מעגל שקוטרו 21 cm.

שום דבר אחר לא דוחף את היונים. האוויר נשאב מהתא, היונים קלים מכדי שלכובד תהיה השפעה, ואין שדה חשמלי. השדה המגנטי לבדו מסובב אותם.

הכוח המגנטי

שדה מגנטי דוחף מטען רק כל עוד המטען נע, והכוח נובע רק מהחלק של התנועה שלו שחוצה את השדה. הכוח הוא

$F = qvB$⁠

עבור מטען $q$⁠ שנע במהירות $v$⁠ בניצב לשדה $B$⁠. ליון ניאון בתחילת הניסוי זה בערך 8 × 10⁻¹⁶ ניוטון, כוח זעיר, אבל גם המסה של היון זעירה.

הכיוון הוא החלק המוזר. הכוח ניצב גם לשדה וגם לתנועה של היון. כוונו את אצבעות יד ימין לאורך התנועה וכופפו אותן לעבר השדה, והאגודל שלכם יראה את כיוון הכוח על מטען חיובי; על מטען שלילי הכוח מכוון לצד ההפוך.

מכיוון שהכוח פועל תמיד הצידה, הוא אף פעם לא דוחף את היון קדימה ולא מעכב אותו. שדה מגנטי לא יכול לשנות את גודל המהירות של חלקיק או לתת לו אנרגיה. כל מה שהוא יכול לעשות הוא לשנות את הכיוון שבו החלקיק נע.

נסו: הזיזו את בניית הספקטרומטר אל כוח. החץ הירוק הוא המהירות של היון, הכחול הוא השדה והכתום הוא הכוח: הוא תמיד מצביע אל תוך המעגל, בניצב לשני האחרים.

חזרה לניסוי ↑

למה מעגל

כוח שגודלו נשאר קבוע ושפועל תמיד בניצב לתנועה הוא בדיוק מה שצריך כדי להקיף מעגל במהירות קבועה, כמו אבן שמסובבים בקצה חוט. הכוח המגנטי מספק את המשיכה אל המרכז שתנועה מעגלית דורשת, $mv^2/r$⁠, ולכן

$qvB = \frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{mv}{qB}$$qvB =$$\frac{mv^2}{r} \quad\Rightarrow$$\quad r =$$\frac{mv}{qB}$⁠

כל חלק בנוסחה הזאת הוא משהו שאפשר לנסות. קשה יותר לסובב יון מהיר יותר, ולכן המעגל שלו רחב יותר: פי שניים מהירות, פי שניים רדיוס. שדה חזק יותר מסובב אותו בחדות רבה יותר: פי שניים שדה, חצי רדיוס. והרדיוס תלוי ביון רק דרך היחס בין המטען למסה שלו, $q/m$⁠: ככל שיון נושא יותר מטען על כל קילוגרם של המסה שלו, כך הוא מסתובב במעגל הדוק יותר.

נסו: בחרו פרוטון (H⁺). לפרוטון יש, ביחס למסה שלו, מטען גדול פי עשרים בערך מאשר ליון ניאון, ולכן באותה מהירות ובאותו שדה המעגל שלו קטן פי עשרים, בקוטר של סנטימטר בערך. הורידו את עוצמת השדה ל־0.02 T והמעגל ייפתח שוב.

חזרה לניסוי ↑

בחרו יון כלוריד (Cl⁻), והיון יתעקם לצד השני, כי המטען שלו שלילי. הוא גם כבד יותר ביחס למטען שלו, ולכן בהתחלה המעגל שלו רחב מכדי להיכנס לתא, והוא פוגע בזכוכית. שדה חזק יותר מחזיר אותו פנימה.

הזמן להקפה אחת

כמה זמן נמשכת הקפה? היון עובר את היקף המעגל, $2\pi r$⁠, במהירות $v$⁠:

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$$T =$$\frac{2\pi r}{v} =$$\frac{2\pi m}{qB}$⁠

המהירות נעלמה מהנוסחה. יון מהיר יותר מקיף מעגל רחב יותר, אבל הוא עובר את הדרך הנוספת בדיוק בזמן שהוא חוסך בזכות המהירות. ליון ניאון בשדה של 0.1 טסלה הקפה נמשכת 13 מיליוניות שנייה, בכל מהירות. העובדה הזאת היא מה שמאפשר לציקלוטרון לפעול: הוא נותן לחלקיקים דחיפה בכל חצי הקפה, וככל שהם מאיצים הם נעים בספירלה החוצה ונשארים מתואמים עם הדחיפות.

נסו: צפו ביונים מסתובבים, ואז גררו את מהירות מ־50 עד 25 km/s. המעגל מתכווץ לחצי מהגודל שלו, אבל כל יון עדיין חוזר אל התותח באותו זמן.

חזרה לניסוי ↑

ספירלות לאורך השדה

רק החלק של התנועה שחוצה את השדה מרגיש כוח כלשהו. אם היון נע גם לאורך השדה, החלק הזה לא מושפע, והיון נסחף לאורך השדה במהירות קבועה בזמן שהוא מסתובב. המעגל נמתח לסליל, כמו קפיץ.

נסו: הזיזו את בניית הספקטרומטר אל סליל. התותח נוטה כלפי מעלה ב־6°, כך שעשירית מהמהירות של היון היא לאורך השדה. האלומה מתפתלת כלפי מעלה, לולאה אחת כל 7 cm, עד שהיא מגיעה למכסה.

חזרה לניסוי ↑

כך נעים חלקיקים טעונים מהשמש בשדה המגנטי של כדור הארץ. הם נעים בספירלה לאורך קווי השדה לעבר הקטבים, ושם חלק מהם מגיעים לאוויר העליון וגורמים לו להאיר בזוהר הקוטב.

לשקול אטומים: ספקטרומטר המסה

אפשר להפוך את הנוסחה $r = mv/qB$⁠ כדי לשקול יון: תנו לו מהירות ומטען ידועים בשדה ידוע, מדדו את הרדיוס, והמסה נובעת מכך. זהו ספקטרומטר מסה. לפני שהיונים מגיעים לשדה הם עוברים דרך בורר מהירויות, שמעביר רק יונים במהירות אחת, כך שכל היונים באלומה יוצאים לדרך זהים. אחרי חצי הקפה כל אחד מהם חוזר וחוצה את הקו של התותח, במרחק $2r$⁠ הצידה, ושם לוח גלאי תופס אותו.

רוב היסודות הם תערובת של איזוטופים: אטומים עם אותו מספר של פרוטונים ואלקטרונים, ולכן אותה כימיה, אבל עם מספר שונה של נייטרונים, ולכן מסות שונות. בספקטרומטר מסה האיזוטופים הכבדים יותר נעים בקשת רחבה יותר ונוחתים רחוק יותר לאורך הלוח. ניאון טבעי נוחת בשלושה מקומות: ניאון־20 ב־20.7 cm, ניאון־21 ב־21.8 cm וניאון־22 ב־22.8 cm, ביחסים של 90.5%, 0.27% ו־9.25%.

נסו: הזיזו את בניית הספקטרומטר אל ספקטרומטר מסה עם יון ניאון (Ne⁺). שלוש אלומות יוצאות מהתותח יחד ונוחתות במרחק סנטימטר זו מזו. נסו את יון כלוריד (Cl⁻) עם עוצמת השדה על 0.2 T: בכלור יש שלושה חלקים של כלור־35 על כל חלק של כלור־37.

חזרה לניסוי ↑

כך התגלו איזוטופים ביסוד רגיל. ב־1913 שלח ג’וזף ג’ון תומסון יוני ניאון דרך שדות מגנטיים וחשמליים, ומצא על לוח הצילום שלו שני עקבות נפרדים, במסות 20 ו־22. כיום ספקטרומטרי מסה מתארכים סלעים ועצמות עתיקות, בודקים אם ספורטאים השתמשו בחומרים אסורים, ומרחרחים אחר חומרי נפץ במזוודות בשדות תעופה.

מה המודל הזה משמיט

הסצנה מחשבת את המסלול מתוך $r = mv/qB$⁠ עבור שדה אחיד לחלוטין. בסלילים אמיתיים בגודל הזה השדה משתנה לאורך התא בכ־3% לכל היותר, והוא חלש יותר ליד הזכוכית, ולכן מעגל אמיתי יהיה מעט מאוד לא עגול. היונים לא משפיעים זה על זה, ואף אחד מהם לא מואט על ידי שאריות גז בתא; בשפופרת אמיתית, דווקא מעט גז הוא מה שגורם לאלומה לזהור. כל המהירויות כאן נמוכות בהרבה ממהירות האור, ולכן הנוסחאות הפשוטות מדויקות עד כדי פחות ממיליונית.

כל יון באלומה מקבל בדיוק אותה מהירות, כאילו בורר המהירויות מושלם, וכולם יוצאים ממרכז התותח, ולכן כל איזוטופ נוחת על קו אחד ולא על פס צר. השובל וזרם היונים מצוירים כדי להראות את המסלול; אלומת יונים אמיתית בלתי נראית. הסצנה מאטה את התנועה כדי שתוכלו לעקוב אחריה, ומאטה יונים קלים יותר מכבדים, כך שהקפה של פרוטון, שבמציאות מהירה פי 35 מזו של יון כלוריד, מוצגת מהירה רק פי ארבעה בערך.