גל ממעגלים מסתובבים
נעצו מעגל ללוח ותנו לו להסתובב בקצב קבוע. נקודה על השפה שלו עולה ויורדת, והגובה שלה לאורך הזמן משרטט גל סינוסי, הגל החוזר החלק ביותר שיש. עכשיו נעצו מעגל קטן יותר באותה נקודה ותנו לו להסתובב מהר פי שלושה. השפה של המעגל השני רוכבת על הראשון, ולכן הגובה שלה הוא סכום של שני גלים סינוסיים. המשיכו כך, כשכל מעגל רוכב על השפה של המעגל שלפניו, ותקבלו שרשרת של אפיציקלים: מעגלים על מעגלים, הכלי שבו השתמשו אסטרונומים בעת העתיקה כדי לתאר את המסלולים הנודדים של כוכבי הלכת.
בסצנה המעגל הראשון נמצא בצד השמאלי של הלוח. החרוז הזוהר בסוף השרשרת הוא הקצה, וקו מקווקו מעביר את הגובה שלו אל הגרף שמימין, שם חרוז שני רוכב על העקומה שהקצה משרטט במשך שני סיבובים של המעגל הראשון.
לחבר סינוסים ולקבל גל ריבועי
עם איבר אחד הקצה משרטט גל סינוסי פשוט. הוסיפו מעגל שני בשליש מהגודל, שמסתובב מהר פי שלושה, והדבשת משתטחת מלמעלה. הוסיפו מעגל בחמישית מהגודל שמסתובב מהר פי חמישה, ואחריו מעגל בשביעית, והגל מתיישר לריבוע: פסגות שטוחות, תחתיות שטוחות ודפנות תלולות ביניהן. המתכון הוא
4/π × (sin t + sin 3t/3 + sin 5t/5 + sin 7t/7 + …)
כל חלק נקרא איבר, והסכום האינסופי כולו הוא טור פורייה, על שם ז’וזף פורייה, שבתחילת המאה ה־19 השתמש בסכומים של סינוסים כדי לחשב איך חום מתפשט בגוף מוצק. הטענה הנועזת שלו הייתה שאפשר לבנות כך כמעט כל גל חוזר, אם בוחרים נכון את הגדלים של הסינוסים. לכל סינוס יש תדירות, כמה פעמים הוא חוזר במחזור אחד של הגל, וגודל, שנקרא משרעת. טור פורייה מפרט את המשרעת של כל תדירות.
נסו: הורידו את איברים ל־1 וצפו במעגל היחיד משרטט גל סינוסי. אחר כך הזיזו אותו ל־3, ומשם עד 15, וצפו בפסגות השטוחות מופיעות ככל שמתווספים המעגלים הקטנים והמהירים.
גלים שונים, מתכונים שונים
שנו את צורת הגל והמעגלים משנים את גודלם. גל שן מסור עולה בהדרגה ואז צונח בבת אחת; הוא משתמש בכל התדירויות השלמות, בגדלים 1, 1/2, 1/3 וכן הלאה, שמתווספים ומופחתים לסירוגין. גל משולש עולה ויורד בקווים ישרים, עם פינות חדות אבל בלי קפיצות; גם הוא משתמש רק בתדירויות האי־זוגיות, אבל הגדלים שלהן קטנים הרבה יותר מהר: 1, 1/9, 1/25, לפי ריבועי המספרים האי־זוגיים. כשבוחרים גל משולש, המעגלים המאוחרים קטנים כל כך שקשה לראות אותם, וקומץ איברים כבר נותן התאמה קרובה.
הדפוס הזה כללי. ככל שגל חלק יותר, המעגלים שלו קטנים מהר יותר והוא צריך פחות איברים. קפיצה פתאומית דורשת מעגלים מהירים בגודל של ממש, ולכן האיברים של הגל הריבועי ושל גל שן המסור קטנים רק כמו 1 חלקי התדירות.
החוד שלא נעלם
הזיזו את הצגת הסינוסים לכיוון הסינוסים שבפנים. קודם מופיעים על הגרף הסינוסים הנפרדים, כל אחד בצבע של המעגל שלו, וכך אפשר לראות שהעקומה שנראית ריבועית היא באמת רק גלים חלקים שחוברו יחד. אחר כך מופיע הגל המבוקש עצמו כקו גיר דק, ולבסוף חרוזים בצבע ענבר מסמנים את הנקודה הגבוהה ביותר ואת הנמוכה ביותר של הסכום.
החרוזים האלה יושבים ממש ליד הקפיצות, והם בולטים מעל הפסגה השטוחה. הוסיפו איברים והחוד נעשה צר יותר ונדחק קרוב יותר לקפיצה, אבל הוא לא נעשה נמוך יותר. בגל הריבועי הסכום מגיע לשיא של כ־1.18 כשהפסגה של הגל היא 1, חריגה של כ־9% מכל הקפיצה מ־−1 עד 1, בין שמשתמשים ב־5 איברים ובין שב־5,000. גל שן המסור מתקרב לאותם 9% לאט יותר. החריגה העיקשת הזאת נקראת תופעת גיבס, על שם ג’וסיה וילארד גיבס, שתיאר אותה ב־1899; הנרי וילברהם מצא אותה כבר ב־1848.
אין זה אומר שהטור נכשל. בכל נקודה שאינה על קפיצה, הסכום מתקרב לגל ככל שרוצים אם מוסיפים מספיק איברים; החוד רק זז קרוב יותר ויותר אל הקפיצה. אבל שום מספר סופי של סינוסים חלקים לא יכול ליצור מדרגה חדה לגמרי, ולכן ליד מדרגה כזאת הסכום תמיד מתנודד. לגל המשולש אין קפיצות, והסכום שלו אף פעם לא חורג.
איפה טורי פורייה מופיעים
פירוק של אות לסינוסים הוא אחד הרעיונות השימושיים ביותר במדע. כינור וחליל שמנגנים אותו צליל נשמעים שונה, כי הגדלים של התדירויות הגבוהות שלהם, שנקראות הרמוניות, שונים. דחיסה של מוזיקה ותמונות, כמו MP3 ו־JPEG, שומרת את האיברים הגדולים ומשמיטה את הזעירים, שהאוזן או העין לא ירגישו בחסרונם, והתנודות של גיבס מופיעות כאדוות חלשות ליד קצוות חדים בתמונה דחוסה מאוד. מהנדסים מנתחים באותה דרך רעידות בגשרים ובמנועים, והשיטה מתרחבת מגלים חוזרים לכל אות שהוא, ושם היא נקראת התמרת פורייה.
מה המודל הזה משאיר בחוץ
הסצנה משתמשת רק באיברי סינוס, כי שלושת הגלים בנויים כך שיהיו אי־זוגיים (אחרי סיבוב של חצי סיבוב סביב המרכז, הצורה שלהם מתחת לציר מתלכדת עם הצורה שמעליו). גל כללי צריך גם איברי קוסינוס וקבוע, כלומר מעגלים שמתחילים בזווית אחרת. הסצנה עוצרת ב־15 איברים; לטור האמיתי יש אינסוף איברים, והסכום שלו שווה בדיוק לגל בכל מקום חוץ מהקפיצות עצמן, שבהן הוא מתייצב על נקודת האמצע. כל המעגלים מסתובבים לאותו כיוון, וזו אחת מכמה דרכים לצייר טור פורייה בעזרת מעגלים. הגרף מחושב מהנוסחה ב־1,200 נקודות לאורך שני מחזורים, ולכן ב־15 איברים ייתכן שקצה החוד הצר מצויר מעט נמוך מדי; ערך השיא שבתווית מחושב במדויק.