חיבור סינוסים.

שלב 1 מתוך 6

מעגל אחד

ביחידה על טריגונומטריה ראיתם שנקודה שמסתובבת על מעגל מציירת גל סינוס. ובמספרים מרוכבים: $b e^{ikt}$⁠ הוא נקודה שמסתובבת $k$⁠ פעמים מהר יותר, על מעגל ברדיוס $b$⁠, והגובה שלה הוא $b\sin kt$⁠. כשמחברים כמה כאלה, מעגל על שפת מעגל, הקצה של השרשרת מצייר סכום של סינוסים. ז׳וזף פורייה טען שכך אפשר לבנות כל גל מחזורי:

$f(t) = b_1 \sin t + b_2 \sin 2t + b_3 \sin 3t + \dots$$f(t) =$$b_1 \sin t + b_2 \sin 2t + b_3 \sin 3t + \dots$⁠

זה טור פורייה. כאן הגל הוא גל ריבועי, ויש רק מעגל אחד: האיבר הראשון של הטור שלו, $\frac{4}{\pi}\sin t$⁠. חשבו את הרדיוס של המעגל.

שלב 2 מתוך 6

עוד מעגלים

בטור של הגל הריבועי, $s$⁠, יש רק תדירויות אי־זוגיות, וכל איבר קטן כמו אחד חלקי התדירות שלו:

$s(t) = \frac{4}{\pi}\left(\sin t + \frac{\sin 3t}{3} + \frac{\sin 5t}{5} + \dots\right)$$s(t) =$$\frac{4}{\pi}\left(\sin t + \frac{\sin 3t}{3} + \frac{\sin 5t}{5} + \dots\right)$⁠

כאן יש $4$⁠ מעגלים, והצגת הסינוסים מראה כל סינוס לחוד על הגרף. נבאו מה יוסיף המעגל החמישי.

שלב 3 מתוך 6

הגל המשולש

כשצורת הגל היא גל משולש, $g$⁠, האיברים קטנים מהר יותר, כמו אחד חלקי ריבוע התדירות:

$g(t) = \frac{8}{\pi^2}\left(\sin t - \frac{\sin 3t}{9} + \frac{\sin 5t}{25} - \dots\right)$$g(t) =$$\frac{8}{\pi^2}\left(\sin t - \frac{\sin 3t}{9} + \frac{\sin 5t}{25} - \dots\right)$⁠

גל חלק יותר צריך פחות סינוסים מהירים. חשבו את הרדיוס של המעגל השלישי.

שלב 4 מתוך 6

ליד הקפיצה

הגל הריבועי קופץ בבת אחת מ־$-1$⁠ ל־$1$⁠. סכום של סינוסים חלקים לא יכול לקפוץ כך, ולכן ליד כל קפיצה הוא עולה מעט מעל הגל, ואז מתנדנד. הצגת הסינוסים עומדת עכשיו בסוף, והלוח מראה את גובה הבליטה. נבאו מה יקרה לה כשתוסיפו איברים.

שלב 5 מתוך 6

בלי קפיצה

הבליטה שייכת לקפיצות, לא לגל עצמו. נסו את שלוש האפשרויות של צורת הגל וענו.

שלב 6 מתוך 6

הנקודה הגבוהה ביותר

בהצגת הסינוסים רואים את הסכום ליד הקפיצה מקרוב.