משחק עם מלכודת
שני אנשים נתפסים בעבירה ונחקרים בחדרים נפרדים. כל אחד מהם יכול לשתוק ולהגן על השני, או לבגוד בשני ולהסגיר אותו למשטרה. אם שניהם שותקים, שניהם מקבלים עונש קצר. אם שניהם בוגדים, שניהם מקבלים עונש ארוך. אם אחד בוגד והשני שותק, הבוגד יוצא לחופשי והשותק מקבל את העונש הארוך מכולם.
זו דילמת האסיר, שנוסחה בתאגיד ראנד בשנת 1950 על ידי מריל פלאד ומלווין דרשר, ואלברט טאקר נתן לה את הסיפור שלה. היא צצה בכל מקום שבו שני צדדים היו מרוויחים שניהם משיתוף פעולה, אבל כל אחד מהם מתפתה לנצל את השני: שתי חנויות שקובעות מחירים, שתי מדינות שבונות נשק, שתי חיות שמנקות זו לזו טפילים מהפרווה.
בסצנה העונשים הופכים לנקודות, שמודפסות על הלבד. שיתוף פעולה הדדי מזכה כל אחד ב־3. בגידה הדדית מזכה כל אחד ב־1. בוגד מול משתף פעולה לוקח 5 ומשאיר למשתף הפעולה 0.
למה בגידה מנצחת במשחק בודד
תורת המשחקים היא המתמטיקה של החלטות שהתוצאות שלהן תלויות במה שאחרים מחליטים. הצעד הראשון שלה הוא לבדוק כל בחירה מול כל אחת מהבחירות של השחקן השני.
נניח שהשחקן השני משתף פעולה. אם תשתפו פעולה תקבלו 3, ואם תבגדו תקבלו 5: עדיף לבגוד. נניח שהוא בוגד. אם תשתפו פעולה תקבלו 0, ואם תבגדו תקבלו 1: שוב עדיף לבגוד. לא משנה מה הוא עושה, בגידה מזכה אתכם ביותר נקודות. בחירה כזאת נקראת אסטרטגיה שולטת.
שני השחקנים חושבים באותה דרך, ולכן שניהם בוגדים ומקבלים 1 כל אחד, כשיכלו לקבל 3 כל אחד. אף אחד מהם לא יכול להרוויח יותר אם רק הוא ישנה את המהלך שלו, ולכן בגידה הדדית היא שיווי משקל נאש של המשחק. השם הוא על שם ג’ון נאש, שהוכיח בשנת 1950 שבכל משחק עם מספר סופי של בחירות יש לפחות נקודת מנוחה אחת כזאת, בתנאי שהשחקנים רשאים גם לבחור באקראי. הדילמה היא ששיווי המשקל גרוע לשניהם מתוצאה אחרת, שאליה הם לא מסוגלים להגיע.
נסו: הורידו את סיבובים בכל משחק ל־1, ואז גררו את דורות אל 30 דורות אחר כך. כל עוד מישהו בוגד בהתחלה, הבוגדים האדומים משתלטים על כל השולחן.
מפגש חוזר משנה את המשחק
רוב הדילמות האמיתיות לא משוחקות פעם אחת. שכנים, עמיתים לעבודה ושותפים למסחר נפגשים שוב ושוב, ועל מה שתעשו היום אפשר להשיב לכם מחר. בסביבות 1980 שאל מדען המדינה רוברט אקסלרוד איזו אסטרטגיה מצליחה הכי טוב בדילמת אסיר חוזרת, וערך שני טורנירים ממוחשבים כדי לגלות. חוקרי תורת המשחקים, כלכלנים ומדעני מחשב שלחו תוכניות; כל אחת שיחקה נגד כל האחרות במשחקים ארוכים, עם אותו ניקוד של 5, 3, 1 ו־0.
את שני הטורנירים ניצחה התוכנית הפשוטה ביותר שהוגשה, ששלח הפסיכולוג אנטול רפפורט. קוראים לה מידה כנגד מידה: לשתף פעולה בסיבוב הראשון, ואחר כך לעשות מה שהשחקן השני עשה בסיבוב הקודם.
מידה כנגד מידה אף פעם לא צוברת יותר נקודות מהשחקן שמולה. מול בוגד היא מפסידה בסיבוב הראשון, ומשם שניהם בוגדים יחד; מול משתף פעולה שניהם משתפים פעולה כל הזמן. היא מנצחת בטורנירים לא כי היא מביסה מישהו, אלא כי היא גורמת לשיתוף פעולה להשתלם ולבגידה להפסיק להשתלם.
איך מידה כנגד מידה עולה
הסצנה מריצה טורניר אקולוגי, מהסוג שאקסלרוד השתמש בו אחר כך. שלוש אסטרטגיות חולקות את השולחן: מידה כנגד מידה בכחול, שחקנים ירוקים שתמיד משתפים פעולה ושחקנים אדומים שתמיד בוגדים. כולם משחקים נגד כולם, וערימת המטבעות של כל אסטרטגיה מראה את הממוצע שלה בנקודות לסיבוב. אחר כך מגיע הדור הבא, ובו החלק של כל אסטרטגיה מבין השחקנים גדל ביחס להצלחה שלה.
בהרכב ההתחלתי הבוגדים מצליחים בהתחלה הכי טוב. הם פוגשים את משתפי הפעולה הירוקים ולוקחים 5 נקודות בכל סיבוב, ולכן החלק שלהם גדל. אבל בכל דור נשארים פחות משתפי פעולה לנצל, ומול מידה כנגד מידה בוגד מקבל רק סיבוב טוב אחד לפני שעונים לו בבגידה. תוך כמה דורות הממוצע של הבוגדים יורד מתחת לממוצע של מידה כנגד מידה, בדור הרביעי הוא כבר מתחת לממוצע של השולחן, ומשם החלק שלהם מצטמק עד שלא נשאר אף אחד.
נסו: גררו את דורות לאט מההרכב בהתחלה וצפו בערימות המטבעות האדומות. בהתחלה הן הגבוהות ביותר, ובדור העשירי הן הנמוכות ביותר.
אורך המשחקים מכריע הכול. במשחק ארוך, הסיבוב האחד שמידה כנגד מידה מפסידה הוא מחיר קטן, והסיבובים הרבים של שיתוף פעולה עם בני מינה הם פרס גדול. בהרכב ההתחלתי הזה, משחקים של שלושה סיבובים נותנים לבוגדים לנצח, ומשחקים של ארבעה נותנים למידה כנגד מידה לנצח.
נסו: הגדילו את סיבובים בכל משחק צעד אחר צעד מ־3 ל־4, ואז העלו את בוגדים בהתחלה עד 80% ומצאו כמה ארוכים המשחקים צריכים להיות כדי שמידה כנגד מידה עדיין תוכל להשתלט.
אקסלרוד סיכם במילים ספורות את האסטרטגיות שהצליחו. הן היו נחמדות: אף פעם לא הראשונות לבגוד. הן היו מגיבות: על בגידה הן השיבו מיד. הן היו סלחניות: סיבוב אחד של עונש, ואז חזרה לשיתוף פעולה אם גם השני חזר. והן היו ברורות, קלות לשחקן השני להבין וללמוד לשתף איתן פעולה.
מעבר לדילמת האסיר
תורת המשחקים התחילה אצל המתמטיקאי ג’ון פון נוימן, שחקר משחקים כמו פוקר, שבהם הרווח של שחקן אחד הוא בדיוק ההפסד של השני, ובספר שכתב בשנת 1944 עם הכלכלן אוסקר מורגנשטרן. שיווי המשקל של נאש הרחיב אותה לכל סוגי המשחקים, כולל הרבים שבהם שני הצדדים יכולים להרוויח או להפסיד יחד.
ביולוגים אימצו אותה בשנות ה־70, בהובלת ג’ון מיינרד סמית’: במקום שחקנים שחושבים, מתחרים גנים והתנהגויות, והתמורה היא מספר הצאצאים. זו הקריאה שהסצנה הזאת משתמשת בה. אף אחד בה לא מחליט דבר; אסטרטגיות שצוברות הרבה נקודות פשוט נעשות נפוצות יותר. אותה מתמטיקה מנחה היום את התכנון של מכרזים, את חקר התנועה בכבישים ואת האופן שבו רשתות מחשבים חולקות רוחב פס.
מה המודל הזה משמיט
השחקנים כאן לא עושים טעויות. שחקנים אמיתיים טועים בקריאת מהלך או מועדים, ואז שני שחקני מידה כנגד מידה יכולים ליפול להד אינסופי של נקמה. אסטרטגיות שסולחות קצת יותר, כמו מידה כנגד מידה סלחנית, שלפעמים מוותרת על בגידה, מצליחות יותר בעולם רועש.
משתתפות רק שלוש אסטרטגיות, כך שמידה כנגד מידה אף פעם לא פוגשת את היריבות המתוחכמות יותר שיכולות לנצח אותה, ושום דבר חדש לא נוצר אף פעם במוטציה. אחרי שהבוגדים נעלמים, משתפי הפעולה הירוקים ומידה כנגד מידה צוברים בדיוק אותו ניקוד, ולכן התערובת ביניהם קופאת; באוכלוסייה אמיתית וסופית המקרה היה מזיז אותה בלי כיוון, ובוגדים היו יכולים שוב לפלוש לאוכלוסייה משתפת פעולה.
האוכלוסייה נחשבת גדולה לאין סוף, והכלים רק מראים את ההרכב שלה מעוגל לשחקנים שלמים, ולכן השינוי מדור לדור חלק וחוזר על עצמו בדיוק בכל הרצה. האסטרטגיות גם מתעלמות מהשאלה מתי המשחק ייגמר. אילו שחקן היה יודע, שחקן הגיוני לחלוטין היה בוגד בסיבוב האחרון, אחר כך גם בזה שלפניו, וכך הלאה אחורה עד הראשון: חידה על רציונליות שהטורנירים האמיתיים, ואנשים אמיתיים, ברובם מתעלמים ממנה.