מהירות מילוט.

שלב 1 מתוך 5

אנרגיה כדי לעזוב

זרקו כדור למעלה, והוא חוזר. זרקו אותו מהר יותר, והוא מגיע גבוה יותר לפני שהוא חוזר. האם יש מהירות שבה הוא לא חוזר לעולם? הכבידה נחלשת עם המרחק, ולכן גם העבודה שהיא עושה כדי לעצור את הכדור לאורך כל הדרך החוצה סופית: מגובה $r$⁠ ממרכז כוכב במסה $M$⁠ ועד אינסוף היא $\dfrac{G M m}{r}$⁠. זו האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית, $U = -\dfrac{G M m}{r}$$U =$$-\dfrac{G M m}{r}$⁠: שלילית, ומתאפסת רק רחוק מאוד.

גוף נמלט אם האנרגיה הקינטית שלו מספיקה לכסות את כל הבור הזה:

$\tfrac12 m v^2 = \frac{G M m}{r} \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2 G M}{r}}$$\tfrac12 m v^2 =$$\frac{G M m}{r} \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{esc}} =$$\sqrt{\frac{2 G M}{r}}$⁠

זו מהירות המילוט. בסצנה כוכב לכת מקיף את השמש במעגל ברדיוס 1 AU, כמו כדור הארץ.

שלב 2 מתוך 5

מכדור הארץ

השוו עם מהירות של מסלול מעגלי מהיחידה הקודמת, $v_{\text{orbit}} = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$$v_{\text{orbit}} =$$\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$⁠. ההבדל הוא רק הגורם $2$⁠ בתוך השורש:

$v_{\text{esc}} = \sqrt{2}\; v_{\text{orbit}}$$v_{\text{esc}} =$$\sqrt{2}\; v_{\text{orbit}}$⁠

גוף במסלול מעגלי כבר נע במהירות של כ־$71\%$⁠ ממהירות המילוט. כדי לברוח, צריך להוסיף לו את השאר.

שלב 3 מתוך 5

מהשמש

כדור הארץ עצמו נע סביב השמש בכ־29.8 km/s. גשושית שיוצאת מכדור הארץ כבר נושאת את המהירות הזאת איתה. כדי לצאת ממערכת השמש לגמרי, היא צריכה להגיע למהירות המילוט מהשמש במרחק של כדור הארץ. האקסצנטריות וגודל המסלול נעולים על המעגל של כדור הארץ.

שלב 4 מתוך 5

מסלולים מתוחים

במסלול אליפטי המהירות בפריהליון גדולה ממהירות המסלול המעגלי שם, ולכן היא קרובה יותר למהירות המילוט. משימור האנרגיה יוצא יחס פשוט:

$\frac{v_{\text{peri}}}{v_{\text{esc}}} = \sqrt{\frac{1 + e}{2}}$$\frac{v_{\text{peri}}}{v_{\text{esc}}} =$$\sqrt{\frac{1 + e}{2}}$⁠

ב־$e = 0$⁠ זה $\sqrt{1/2} \approx 0.71$$\sqrt{1/2} \approx$$0.71$⁠, וככל ש־$e$⁠ מתקרב ל־$1$⁠ היחס מתקרב ל־$1$⁠. ב־$e = 1$⁠ בדיוק המסלול כבר לא אליפסה סגורה אלא פרבולה, והגוף לא חוזר. גודל המסלול נעול.

שלב 5 מתוך 5

הירח

שביט על מסלול כמו זה, $e = 0.85$⁠, עובר ליד השמש כמעט במהירות המילוט, ובקצה הרחוק הוא כמעט עומד. מהירות המילוט תלויה רק ב־$M$⁠ וב־$r$⁠, ולכן כוכב קטן קל לעזוב. על הירח, שמסתו כ־$1\%$⁠ ממסת כדור הארץ, טייסי אפולו המריאו בחזרה עם מנוע אחד קטן.