נקודות לגראנז'.

שלב 1 מתוך 7

מסתובבים עם כדור הארץ

לפי החוק השלישי של קפלר, כל גוף שקרוב לשמש יותר מכדור הארץ מקיף אותה מהר יותר, וכל גוף רחוק יותר מקיף לאט יותר. אז איך אפשר להחזיק גשושית תמיד באותו מקום ביחס לכדור הארץ? התשובה היא הכבידה של כדור הארץ עצמו. ב־1772 מצא ז’וזף לואי לגראנז’ חמש נקודות שבהן המשיכה של השמש ושל כדור הארץ יחד נותנת בדיוק את הכוח הצנטריפטלי של הקפה בשנה אחת.

הסצנה מסתובבת יחד עם כדור הארץ, ולכן השמש וכדור הארץ נראים עומדים. גשושית שחונה באחת הנקודות עומדת גם היא. כדי שהנקודות יבלטו, מסת כדור הארץ בסצנה היא $1\%$⁠ ממסת השמש, פי $3000$⁠ מהאמיתית. הגשושית חונה עכשיו ב־L1, בין השמש לכדור הארץ.

שלב 2 מתוך 7

כמה רחוק

L1 ו־L2 נמצאות משני צדי כדור הארץ, על הקו אל השמש. כש־$\mu$⁠, החלק של כדור הארץ במסה הכוללת, קטן, שתיהן נמצאות בערך באותו מרחק ממנו:

$\frac{r}{R} \approx \sqrt[3]{\frac{\mu}{3}}$$\frac{r}{R} \approx$$\sqrt[3]{\frac{\mu}{3}}$⁠

כאן $R$⁠ הוא המרחק בין השמש לכדור הארץ. בשביל ההערכה הזאת משווים את ההפרש בין משיכות השמש בנקודה ובכדור הארץ למשיכה של כדור הארץ, ולכן יוצא שורש שלישי ולא שורש רגיל. מיקום הגשושית ומסת כדור הארץ נעולים.

שלב 3 מתוך 7

כדור הארץ האמיתי

מסת כדור הארץ עכשיו $0.1\%$⁠ ממסת השמש, כמו צדק, ו־L2 התקרבה אליו. לכדור הארץ האמיתי $\mu \approx 3 \times 10^{-6}$$\mu \approx$$3 \times 10^{-6}$⁠, ו־L1 ו־L2 שלו כל כך קרובות שבסצנה הן היו בתוך הכדור המצויר.

שלב 4 מתוך 7

אוכף

בנקודה עצמה הכוחות מתאימים בדיוק. מה קורה לגשושית שזזה מעט? עכשיו היא חונה ב־L2 ונדחפת חצי אחוז מהמרחק לשמש, הרחק מהשמש. הפעילו את התנועה. אחרי שתבחרו, הצגת הכבידה האפקטיבית תוריד את הכול על משטח הכבידה האפקטיבית: הכבידה של שני הגופים יחד עם ההשלכה החוצה של הסיבוב. חמש הנקודות הן המקומות השטוחים בו.

שלב 5 מתוך 7

טרויאנים

L4 ו־L5 נמצאות שישים מעלות לפני כדור הארץ ושישים מעלות אחריו, כל אחת בקודקוד של משולש שווה צלעות עם השמש וכדור הארץ. מיקום הגשושית נעול על L4, והגשושית נדחפת $1.5\%$⁠ מהמרחק לשמש.

שלב 6 מתוך 7

הגבול של ראות

היציבות של L4 ו־L5 תלויה ביחס המסות: הגוף הקטן צריך להיות קל מספיק. מיקום הגשושית נעול על L4, והגשושית נדחפת מעט.

שלב 7 מתוך 7

טלסקופ ב־L2

ב־L1 מקיפה מאז 1996 החללית SOHO, שמסתכלת על השמש בלי הפסקה, בלי שכדור הארץ יסתיר אותה אף פעם. ב־L2 נמצא מאז 2022 טלסקופ החלל ג’יימס וב, שמסתכל הרחק ממנה. הצגת הכבידה האפקטיבית מראה את משטח הכבידה האפקטיבית, עם הגשושית ב־L2.