טילים ומשוואת הטיל.

שלב 1 מתוך 8

אין במה להישען

בסצנה טיל על כן השיגור. הפעילו את התנועה: הוא ממריא, שורף את הדלק, וממשיך לטוס. מעל האטמוספרה אין אוויר ואין קרקע. ממה הוא נדחף?

שלב 2 מתוך 8

תנע יוצא מאחור

ביחידה על תנע ראינו שכשאין כוח חיצוני, התנע הכולל נשמר. טיל ודלק הם מערכת אחת. כשהמנוע זורק גזים חמים אחורה במהירות גבוהה, הם לוקחים תנע אחורה, והטיל מקבל בדיוק אותו תנע קדימה, כמו מחליק על קרח שזורק כדור כבד.

בכל שנייה המנוע זורק עוד מסה, והטיל נעשה קל יותר. לכן אותה כמות גז מאיצה אותו יותר ככל שהבעירה מתקדמת.

שלב 3 מתוך 8

משוואת הטיל

אם מסכמים את כל הזריקות הקטנות האלה מתחילת הבעירה ועד סופה, יוצאת משוואת הטיל של קונסטנטין ציולקובסקי, מ־1903:

$\Delta v = v_e \ln\frac{m_0}{m_f}$$\Delta v =$$v_e \ln\frac{m_0}{m_f}$⁠

כאן $v_e$⁠ היא מהירות הפליטה, המהירות של הגזים ביחס לטיל; $m_0$⁠ המסה בהמראה, עם הדלק; $m_f$⁠ המסה בסוף הבעירה; ו־$\ln$⁠ הלוגריתם הטבעי. היחס $\dfrac{m_0}{m_f}$⁠ נקרא יחס המסות. $\Delta v$⁠, “דלתא וי”, הוא השינוי במהירות שהטיל יכול להשיג בחלל ריק. כבידה ואוויר לוקחים ממנו חלק בדרך.

הצגת המשוואה חתכה את הדופן, והגרף שליד הסצנה מראה את $\Delta v$⁠ כפונקציה של חלק הדלק. כל הבקרות נעולות.

שלב 4 מתוך 8

הקילוגרמים האחרונים

חלק הדלק $f$⁠ קובע את יחס המסות: אם $f$⁠ מהמסה בהמראה הוא דלק, בסוף נשאר $1 - f$⁠, ולכן $\dfrac{m_0}{m_f} = \dfrac{1}{1 - f}$$\dfrac{m_0}{m_f} =$$\dfrac{1}{1 - f}$⁠. מהירות הפליטה ומספר השלבים נעולים.

שלב 5 מתוך 8

מהירות הפליטה

$\Delta v$⁠ פרופורציוני ל־$v_e$⁠: מנוע שפולט מהר פי שניים נותן פי שניים מהירות מאותו דלק. מהירות הפליטה תלויה בדלק: מנוע דלק מוצק פולט בכ־2.6 km/s, קרוסין וחמצן בכ־3.2, ומימן וחמצן, הדלק הכימי המהיר ביותר, בכ־4.4 km/s. חלק הדלק ומספר השלבים נעולים.

שלב 6 מתוך 8

שלבים

עד עכשיו המכלים והמנועים נסעו עד הסוף, גם כשהיו ריקים. בטיל רב־שלבי כל שלב נזרק כשהדלק שלו נגמר, וכל שלב תורם $v_e \ln\dfrac{m_0}{m_f}$⁠ משלו. מהירות הפליטה וחלק הדלק נעולים.

שלב 7 מתוך 8

למסלול

כל הבקרות פתוחות. נשארו שלוש דרכים להגדיל את $\Delta v$⁠: יותר דלק, פליטה מהירה יותר ויותר שלבים.

שלב 8 מתוך 8

יחס המסות

אפשר גם להפוך את השאלה: כמה דלק צריך בשביל $\Delta v$⁠ מסוים? מהמשוואה, יחס המסות הוא חזקה:

$\frac{m_0}{m_f} = e^{\Delta v / v_e}$$\frac{m_0}{m_f} =$$e^{\Delta v / v_e}$⁠

$\Delta v$⁠ כפול דורש יחס מסות בריבוע. זו “עריצות משוואת הטיל”: מעט מהירות נוספת עולה הרבה מאוד דלק.