תנועה בראונית והילוך מקרי.

גרגיר שלא נח לרגע

בשנת 1827 שם הבוטנאי הסקוטי רוברט בראון גרגירי אבקה במים מתחת למיקרוסקופ שלו, וצפה בחלקיקים הזעירים שיצאו מהם. הם אף פעם לא עמדו במקום. כל אחד מהם רעד ונדד בזיגזג, שעה אחרי שעה, בלי שום זרם במים שיסחף אותו. בתחילה תהה בראון אם החלקיקים חיים. אחר כך ראה את אותה תנועה חסרת מנוחה בגרגירים של פיח, של זכוכית כתושה ושל סלע, שמעולם לא היו חיים. הריטוט נודע בשם תנועה בראונית, ובמשך כמעט שמונים שנה איש לא ידע לומר מה מניע אותה.

הגרגיר בסצנה הוא בקוטר מיקרומטר אחד, אלפית המילימטר, בערך בגודל החלקיקים שבראון צפה בהם. הוא נע בדיוק באותה מהירות שבה גרגיר כזה נע באמת במים: בשנייה אחת הוא נודד בדרך כלל קצת יותר ממיקרומטר, בערך כרוחבו שלו. הקו הכחול משרטט איפה הוא היה בחצי הדקה האחרונה.

בעיטות מכל הכיוונים

התשובה היא שהמים אינם חלקים. הם עשויים ממולקולות שקוטרן כשלוש עשיריות הננומטר, קטנות פי אלפים מהגרגיר, צפופות זו ליד זו ונדחקות זו בזו כל הזמן. כל מולקולה שמתנגשת בגרגיר נותנת לו דחיפה זעירה. משהו כמו עשרה מיליארד מיליארד מהן פוגעות בו בכל שנייה, מכל כיוון.

אילו הדחיפות מכל הצדדים היו מתאזנות בדיוק, הגרגיר היה עומד במקום. הן אף פעם לא מתאזנות לגמרי. בכל רגע פוגעות בו במקרה קצת יותר מולקולות מצד אחד מאשר מהצד השני, או שהן פוגעות בו קצת יותר חזק, והגרגיר נדחף מעט לכיוון ההוא. רגע אחר כך חוסר האיזון מצביע לכיוון אחר. הגרגיר עצמו קטן מדי מכדי שיידחף לכיוון אחד זמן רב, וגדול מדי מכדי שמולקולה אחת תעיף אותו רחוק, ולכן הוא מדשדש: קצת לכאן, קצת לשם, ואף פעם לא נרגע.

נסו: הזיזו את התקרבות למולקולות אל מולקולות. התצוגה מתקרבת אל הגרגיר עד שמולקולות המים מופיעות סביבו. הבזקים מסמנים חלק מהפגיעות. החץ הזהוב מראה את הדחיפה השקולה ברגע האחרון: הוא מסתובב כל הזמן, והגרגיר רועד לאורכו.

חזרה לניסוי ↑

את המולקולות עצמן אי אפשר לראות בשום מיקרוסקופ אור. התנועה הבראונית היא המקום היחיד שבו אפשר לראות את ההשפעה שלהן ישירות: דבר נראה שנדחף הלוך ושוב בידי אינספור דברים בלתי נראים.

הילוך מקרי

מסלול שעשוי מצעדים בכיוונים אקראיים, שכל אחד מהם שוכח את קודמו, נקרא הילוך מקרי. אותה מתמטיקה מתארת גרגיר במים, ריח שמתפשט בחדר שקט, סוכר שמתפשט בתה וטיפת צבע שעוכרת לאט כוס מים.

הדבר המפתיע בהילוך מקרי הוא כמה לאט הוא מגיע לאנשהו. עשו מאה צעדים בקו ישר, ותהיו במרחק מאה צעדים. עשו מאה צעדים בכיוונים אקראיים, ורבים מהם יבטלו זה את זה: בממוצע תגיעו רק כעשרה צעדים מנקודת ההתחלה. אחרי N צעדים המרחק הטיפוסי הוא בערך אורך של צעד אחד כפול √N. כדי להגיע רחוק פי שניים צריך פי ארבעה צעדים, כלומר פי ארבעה זמן.

פי ארבעה זמן, פי שניים מרחק

הזיזו את התקרבות למולקולות אל הרבה גרגירים. שישים גרגירים נוספים משתחררים יחד מהמרכז ומתפזרים, כל אחד בהילוך מקרי משלו. הם מצוירים כנקודות קטנות, כדי שגרגירים גדולים לא יסתירו זה את זה. הטבעת האדומה המקווקוות נמצאת במרחק הטיפוסי שלהם מנקודת ההתחלה, כפי שהוא נמדד מהגרגירים עצמם, והגרף שליד הניסוי משרטט את המרחק הזה שנייה אחר שנייה.

הנקודות האדומות עוקבות אחרי העקומה הכחולה, השורש הריבועי של הזמן. אחרי 5 שניות ההמון התפשט כ־2.9 מיקרומטרים; אחרי 20 שניות, פי ארבעה זמן, כ־5.9, רק רחוק פי שניים. בסימנים, הממוצע של ריבוע המרחק גדל ביחס ישר לזמן:

$\langle r^2 \rangle = 4Dt$$\langle r^2 \rangle =$$4Dt$⁠

כאן $t$⁠ הוא הזמן ו־$D$⁠ הוא מקדם הדיפוזיה, שאומר כמה מהר משהו מתפשט. ה־4 מופיע כי רואים את הגרגירים מתפשטים על פני מבט שטוח; כשסופרים את כל שלושת הכיוונים הוא הופך ל־6. השורש הריבועי הוא הסיבה שפעפוע (דיפוזיה) מהיר במרחקים קצרים וחסר סיכוי במרחקים ארוכים. מולקולת סוכר חוצה תא, כמה מיקרומטרים, בשבריר שנייה, אבל הייתה צריכה שבועות כדי לפעפע לרוחב כוס תה בלי שום בחישה. בחישה וזרמים, ולא פעפוע, הם שמערבבים את רוב הדברים שאנחנו רואים. המאמר פעפוע ואוסמוזה עוקב אחרי אותה תנועה אקראית אל תוך תאים חיים.

מים חמים יותר, גרגירים קטנים יותר

בשנת 1905 חישב אלברט איינשטיין מה קובע את $D$⁠ של כדור בתוך נוזל:

$D = \frac{kT}{6\pi\eta r}$$D =$$\frac{kT}{6\pi\eta r}$⁠

הטמפרטורה $T$⁠ בקלווין נמצאת במונה: מולקולות חמות יותר נעות מהר יותר ופוגעות חזק יותר. הרדיוס של הכדור $r$⁠ נמצא במכנה: בכדור גדול יותר פוגעות יותר מולקולות בבת אחת, ולכן הדחיפות שלהן מתקזזות טוב יותר, והנוזל גם בולם אותו יותר. גם הצמיגות $\eta$⁠, כמה סמיך או דליל הנוזל, נמצאת במכנה. $k$⁠ הוא קבוע בולצמן, 1.38 × 10⁻²³ ג’אול לקלווין.

המים נעשים דלילים הרבה יותר כשהם מתחממים: הצמיגות שלהם יורדת מכ־1.8 אלפיות פסקל־שנייה ב־0 °C ל־1.0 ב־20 °C ול־0.28 קרוב לרתיחה. לכן חימום המים מנקודת הקיפאון עד הרתיחה גורם לגרגיר להתפשט מהר כמעט פי תשעה, יותר ממה שהטמפרטורה לבדה הייתה מרמזת.

נסו: העלו את טמפרטורת המים עד 100 °C, ואחר כך הורידו את גודל הגרגיר עד 0.5 µm. השובל משרבט על פני כל השדה. עכשיו הזיזו אותם ל־0 °C ול־5 µm: הגרגיר בקושי רועד במקומו. בין שני המצבים, $D$⁠ משתנה בערך פי תשעים.

חזרה לניסוי ↑

איך היא הוכיחה שאטומים קיימים

בתחילת המאה העשרים, מדענים מכובדים רבים עדיין פקפקו בכך שאטומים ומולקולות קיימים באמת. הכימיה עבדה כאילו הם קיימים, אבל איש לא יכול היה לראות אחד מהם. המאמר של איינשטיין מ־1905 הפך את התנועה הבראונית למבחן. אם המים באמת עשויים ממולקולות בגודל מסוים, גרגיר בגודל ידוע חייב להתפשט בקצב שאיינשטיין יכול לחזות, ומדידת ההתפשטות הזאת תגלה כמה מולקולות יש בכמות נתונה של מים.

בין 1908 ל־1909 ערך הפיזיקאי הצרפתי ז’אן פרן את המדידות. הוא הכין גרגירים משרף צהוב בשם גמבוג’, כולם באותו גודל, ועקב אחריהם במיקרוסקופ: הוא סימן את מקומו של כל גרגיר כל 30 שניות וחיבר את הסימנים בקווים ישרים. ההתפשטות גדלה עם הזמן בדיוק כפי שאיינשטיין חזה, וממנה חישב פרן את מספר המולקולות במול של חומר, בהתאמה טובה לשיטות אחרות, שונות לגמרי. הספקנים הרימו ידיים. פרן קיבל את פרס נובל לפיזיקה בשנת 1926.

פרן הבחין גם במשהו מוזר במסלולים. סמנו את המקומות פי עשרה לעיתים קרובות יותר, וכל קטע ישר מתפרק לזיגזג משלו. למסלול בראוני אין קטעים חלקים בשום הגדלה, ולכן אין לו מהירות מוגדרת: ככל שמסתכלים מקרוב יותר, הוא נעשה ארוך יותר. מאוחר יותר ניסחו מתמטיקאים את הרעיון הזה במדויק, וההילוך המקרי הפך לאחד הרעיונות השימושיים ביותר במדע, מהתפשטות החום ועד מחירי המניות.

מה המודל הזה משאיר בחוץ

• הכיוון השלישי. גרגיר אמיתי גם נודד למעלה ולמטה בתוך המים, ונכנס לפוקוס ויוצא ממנו. המודל מראה רק את התנועה שלו על פני המבט, שאותה מיקרוסקופ מראה בחדות, ומשאיר אותו בתוך שדה הראייה, שממנו גרגיר אמיתי היה נסחף החוצה במוקדם או במאוחר.
• הכובד. גרגיר שצפוף מעט יותר ממים שוקע לאט בזמן שהוא מרטט. בגרגירים קטנים כל כך הריטוט גובר על השקיעה בזמנים קצרים; פרן השתמש באיזון הזה באחד הניסויים האחרים שלו.
• השובל. הקו מחבר מקומות כל 0.2 שניות. מצלמה שמצלמת לעיתים קרובות יותר הייתה מראה עוד זיגזגים בתוך כל קטע.
• המולקולות. בתקריב המולקולות מצוירות גדולות פי מאות מדי ביחס לגרגיר, יש הרבה פחות מהן, והן נעות לאט בהרבה מאשר במציאות, כדי שאפשר יהיה לראות אותן. מולקולות מים אמיתיות גם נצמדות זו לזו בקשרי מימן, ולכן הן לא עפות בחופשיות בין פגיעה לפגיעה. החץ הזהוב מראה את הרעיון, לא כוח שנמדד.
• ההמון. שישים הגרגירים עוברים זה דרך זה, כאילו כל אחד מהם הוא הרצה נפרדת של אותו ניסוי; גרגירים אמיתיים קרובים כל כך היו מתנגשים ודוחפים זה את זה.
• צורות ודפנות. הגרגיר הוא כדור מושלם בבריכה אינסופית של מים שקטים. לחלקיקים אמיתיים יש צורות משונות, הם גם מתהפכים תוך כדי תנועה, והם נעים לאט יותר ליד הזכוכית.