שתי מטוטלות, התחלה אחת
תלו מוט שני מקצה של מטוטלת, וקיבלתם מטוטלת כפולה. הרימו אותה ושחררו, והיא לא מתייצבת בנדנוד קבוע. המוט התחתון מצליף סביב, נעצר, מתהפך מעל הנקודה העליונה ונופל בחזרה, בדפוס שאף פעם לא חוזר על עצמו בדיוק.
בסצנה יש שתיים כאלה, בנויות בדיוק אותו דבר ותלויות על אותו ציר, כחולה מלפנים וורודה מאחוריה. שתיהן משוחררות מאותו גובה באותו רגע. ההבדל היחיד הוא שהוורודה מתחילה מסובבת עוד שבריר זעיר של מעלה. בשניות הראשונות שתיהן נעות כאחת; בקושי רואים את הוורודה מאחורי הכחולה. ואז, די פתאום, הן נפרדות והולכות כל אחת לדרכה.
סיבות קטנות, תוצאות גדולות
שום דבר אקראי לא קורה בסצנה. כל מטוטלת מצייתת לאותם חוקי תנועה, שמחושבים צעד אחר צעד לפי המקום שבו היא נמצאת ולפי המהירות שבה היא נעה. שחררו את הזוג בדיוק באותה זווית, והן יישארו יחד לעד, תואמות עד הספרה האחרונה אחרי הנקודה. תנועה שנקבעת לגמרי לפי נקודת ההתחלה שלה נקראת דטרמיניסטית.
ובכל זאת, ייתכן שאי אפשר לחזות מערכת דטרמיניסטית. הבדל זעיר בהתחלה לא נשאר זעיר. במטוטלת הכפולה הוא מוכפל בערך שוב ושוב, בקצב קבוע, עד שהוא גדול כמו הנדנוד עצמו. הרגישות הקיצונית הזאת לנקודת ההתחלה היא מה שמתמטיקאים מתכוונים אליו כשהם אומרים כאוס.
נסו: העלו את זווית שחרור עד 135°, ואז הורידו את הפרש בזווית ההתחלה צעד אחר צעד מ־1° עד 0.001°. בחרו פועל תחת הצגת המסלולים וצפו מתי שני השובלים נפרדים.
דיוק גדול פי עשרה בהתחלה לא קונה התרעה ארוכה פי עשרה. בשחרור מ־120°, הפרש של 0.01° עובר את 10° תוך כארבע שניות; הפרש של 0.001°, קטן פי עשרה, לוקח רק קצת יותר משנייה נוספת. כל ספרה נוספת של דיוק קונה את אותה תוספת זמן קטנה.
לקרוא את הגרף
בחרו פועל תחת הצגת המסלולים, ולצד המטוטלות יופיע גרף. הוא מציג את ההפרש בין השתיים כפונקציה של הזמן. הציר האנכי שלו הוא סולם לוגריתמי: כל משבצת למעלה פירושה הפרש גדול פי עשרה.
בסולם כזה, כמות שגדלה בכפל בקצב קבוע מטפסת בקו ישר. בשחרור גבוה הגרף עולה בשיפוע משונן אבל ישר, וזה הסימן המובהק של גדילה מעריכית. התלילות של השיפוע הזה, כמה מהר ההפרש גדל בכפל, בממוצע, היא מעריך ליאפונוב של המערכת, על שם המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר ליאפונוב. ברגע שההפרש גדול כמו הנדנוד, הוא כבר לא יכול לגדול עוד, והקו משתטח: עכשיו לשתי המטוטלות אין שום קשר זו לזו.
לא כל נדנוד הוא כאוטי
שחררו את הזוג נמוך (30°), והתמונה משתנה. כל מטוטלת מתנדנדת הלוך ושוב באופן סדיר שחוזר על עצמו, והגרף נשאר כמעט שטוח: ההפרש גדל רק לאט, ואף פעם לא מתפוצץ. מערכות רבות הן כאוטיות בתנאים מסוימים וסדירות בתנאים אחרים. בזוג הזה, כשהוא משוחרר עם שני המוטות בקו אחד, השינוי מגיע בערך ב־80°. מתחת לזווית הזאת התנועה צפויה; מעליה, כמה שניות הן כל ההתרעה שיש.
אפקט הפרפר
המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה גילה רגישות מהסוג הזה בסביבות 1890, כשחקר איך שלושה גופים נעים תחת הכבידה זה של זה. הרעיון התפרסם בזכות המטאורולוג האמריקאי אדוארד לורנץ. ב־1961 הוא הריץ מחדש סימולציה של מזג האוויר ממספרים שעיגל לשלוש ספרות אחרי הנקודה, וגילה שאחרי זמן מה התחזית שלה לא דמתה בכלל להרצה הראשונה. ב־1972 הוא נשא הרצאה ששאלה אם משק כנפי פרפר בברזיל יכול לחולל טורנדו בטקסס, וכך קיבל אפקט הפרפר את שמו.
מזג האוויר כאוטי באותו אופן כמו המטוטלת הכפולה, רק עם הרבה יותר חלקים נעים. מדידות של האוויר אף פעם אינן מושלמות, והשגיאות גדלות עד שהן מציפות את התחזית, וזו אחת הסיבות לכך שתחזיות מזג אוויר מפורטות מאבדות את כושרן אחרי שבוע או שבועיים.
מה המודל הזה משאיר בחוץ
הסצנה מתייחסת לכל מוט כחסר מסה ולכל משקולת כנקודה אחת, עם מסבים בלי חיכוך, כך שמטוטלת שומרת על האנרגיה שלה לעד. מטוטלות כפולות אמיתיות מאטות, ולמוטות שלהן יש מסה שפרוסה לכל אורכם, מה שמשנה את פרטי התנועה אבל לא את הכאוס שבה. ההפרש בגרף משלב את שתי הזוויות ואת המהירות שבה כל מוט מסתובב, כדי שלא יצנח לאפס בכל פעם ששתי המטוטלות במקרה חולפות זו על פני זו. ולבסוף, גם המחשב עובד עם מספר סופי של ספרות אחרי הנקודה; הסצנה כנה בעניין הזה וחוזרת על כל הרצה בדיוק, אבל לאורך זמן רב גם מטוטלת מחושבת סוטה מהמטוטלת האמיתית.