ספירלות בפרח
הביטו מקרוב במרכז של חמנייה, והזרעים ייראו כאילו הם מתעקלים מהמרכז החוצה בספירלות: חלקן נמשכות עם כיוון השעון, ואחרות נגד כיוון השעון. ספרו אותן, ובדרך כלל תמצאו 34 בכיוון אחד ו־55 בכיוון השני, או 55 ו־89 בקרקפת גדולה יותר. הקשקשים של אצטרובל אורן מסתדרים בדרך כלל ב־8 וב־13 ספירלות. הזוגות האלה הם שכנים בסדרת פיבונאצ’י, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…, שבה כל מספר הוא סכום שני המספרים שלפניו. לאונרדו מפיזה, שנקרא מאוחר יותר פיבונאצ’י, השתמש בה בספרו ספר החשבונייה (Liber Abaci) משנת 1202.
כלל אחד, זווית אחת
קרקפת של חמנייה גדלה מטבעת של רקמה שמייצרת פרחים חדשים בזה אחר זה. כל פרח נוצר איפה שיש הכי הרבה מקום, רחוק מאלה שנוצרו ממש לפניו, וכך, סביב המרכז, כל שני פרחים עוקבים מופרדים בסופו של דבר בזווית קבועה: בערך 137.5°, זווית הזהב. זהו החלק הקטן מבין השניים כשמחלקים סיבוב שלם לפי יחס הזהב, שהוא בערך 1.618 ל־1.
בשנת 1979 הראה הלמוט פוגל שכלל פשוט אחד משחזר קרקפת של חמנייה. מציבים את הזרע מספר n סביב המרכז בזווית הגדולה פי n מזווית הזהב, במרחק שגדל עם השורש הריבועי של n, כך שכל זרע מקבל אותו שטח. זה בדיוק הכלל שהמודל הזה פועל לפיו.
למה דווקא הזווית הזאת?
נסו במקום זאת שבר פשוט של סיבוב. בשליש סיבוב, כל זרע שלישי נוחת על אותו קו, והקרקפת הופכת לשלושה חישורים ישרים עם גזרות ריקות ביניהם. שלוש שמיניות סיבוב יוצרות שמונה חישורים. כל שבר של סיבוב חוזר בסופו של דבר על עצמו, ומבזבז מקום.
נסו: הזיזו את הסיבוב בין הזרעים ל־120°, ל־135° ול־144°, ואז חזרה ל־137.5°, זווית הזהב. גררו אותו לאט ליד זווית הזהב, וראו איך הרווחים נסגרים.
יחס הזהב הוא, במובן מדויק, המספר שהכי קשה לקרב בשברים, ולכן זרעים שמונחים לפי זווית הזהב אף פעם לא מסתדרים בשורה. הם ממלאים את הקרקפת באופן אחיד, ואורזים הכי הרבה זרעים בהכי מעט מקום.
מאיפה באים מספרי פיבונאצ’י
השברים שמתקרבים הכי הרבה ליחס הזהב הם יחסים בין מספרי פיבונאצ’י שכנים: 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 וכן הלאה. לכן השכנים הקרובים ביותר של זרע הם הזרעים שנמצאים מספר פיבונאצ’י של מקומות לפניו או אחריו. כשמחברים כל זרע לשכנים האלה, משרטטים את הספירלות, ומספר הזרועות בכל משפחה הוא אותו מספר פיבונאצ’י. בחרו פועל תחת הצגת הספירלות כדי לראות את המשפחות צבועות וספורות, ואז העבירו את הצמח לאצטרובל.
מה המודל הזה משמיט
צמחים אמיתיים מבולגנים יותר. קצות הצמיחה שלהם קובעים את הזווית באמצעות אותות כימיים, לא באמצעות גאומטריה, ולכן היא משתנה מעט מפרח לפרח. ספירה גדולה של חמניות במסגרת מדע אזרחי, בשנת 2016, מצאה שברוב הקרקפות הופיעו מספרי פיבונאצ’י, אבל במיעוט ניכר מהן לא. פרחים אמיתיים תופחים ולוחצים זה על זה עד שהם מקבלים את צורתם. המודל הזה מציב זרעים זהים לפי כלל מדויק אחד. האצטרובל שלו מוסיף קשקשים במעלה ליבה בצורת ביצה, באותו סיבוב, עם שפות עציות פשוטות במקום הצורות של קשקשים אמיתיים.