ספירלות פיבונאצ׳י.

שלב 1 מתוך 5

קרניים

בסדרת פיבונאצ׳י כל איבר הוא סכום שני הקודמים: $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \dots$⁠ המספרים האלה מופיעים בספירלות של חמנייה, ומה שמחבר אותם הוא כלל פשוט אחד. בראש החמנייה כל זרע חדש צומח במרכז, מסתובב זווית קבועה מהזרע שלפניו, ונדחף החוצה כשבאים אחריו זרעים חדשים.

הסיבוב בין הזרעים נעול עכשיו על $\frac13$⁠ סיבוב, $120^\circ$⁠: כל זרע שלישי חוזר לאותו כיוון, והזרעים מסתדרים ב־$3$⁠ קרניים ישרות עם רווחים ריקים ביניהן. נבאו מה יקרה ב־$\frac38$⁠ סיבוב.

שלב 2 מתוך 5

השברים של פיבונאצ׳י

כשהסיבוב הוא $\frac{p}{q}$⁠ סיבוב, הזרעים מסתדרים ב־$q$⁠ קרניים, ונשאר מקום ריק ביניהן: צמח כזה מבזבז את השטח. כדי לנצל את כל השטח הסיבוב צריך להיות רחוק מכל שבר פשוט. השברים $\frac12, \frac13, \frac25, \frac38, \frac{5}{13}, \frac{8}{21}, \dots$⁠, שהמונים והמכנים שלהם מספרי פיבונאצ׳י, מתקרבים בדיוק למספר כזה. מצאו את הסיבוב של השבר הבא בשורה, $\frac{5}{13}$⁠.

שלב 3 מתוך 5

זווית הזהב

השברים האלה מתקרבים ל־$1 - \frac{1}{\varphi}$⁠, כאשר $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2} \approx 1.618$$\varphi =$$\frac{1 + \sqrt5}{2} \approx$$1.618$⁠ הוא יחס הזהב, וגם היחס בין מספרי פיבונאצ׳י עוקבים מתקרב אליו: $\frac{55}{34} \approx 1.618$$\frac{55}{34} \approx$$1.618$⁠. הסיבוב הזה, 137.5°, הוא זווית הזהב. הוא המספר שהכי קשה לקרב בשבר פשוט, ולכן אף זרע לא נוחת בדיוק מאחורי זרע אחר, והזרעים ממלאים את הראש באופן אחיד. חשבו איזה חלק מסיבוב היא זווית הזהב.

שלב 4 מתוך 5

סופרים ספירלות

בזווית הזהב אין קרניים, אבל העין מוצאת ספירלות: כל זרע קרוב לזרעים שבאו מספר פיבונאצ׳י של צעדים לפניו, כי אחרי $34$⁠ או $55$⁠ סיבובים של זווית הזהב הזרע כמעט חוזר לאותו כיוון. בחרו פועל תחת הצגת הספירלות וספרו.

שלב 5 מתוך 5

אצטרובל

אותו כלל עובד גם על אצטרובל: הקשקשים צומחים לאורך ציר, וכל אחד מסתובב בזווית הזהב מקודמו. באצטרובל יש הרבה פחות קשקשים מזרעים בחמנייה. נבאו כמה ספירלות תראו, ואז החליפו את הצמח.