אותה תמונה בכל גודל
התחילו ממשולש. החליפו את השליש האמצעי של כל צלע בשתי צלעות באותו אורך, שבולטות החוצה כמו חוד. כל צלע ישרה הפכה לארבע צלעות, כל אחת באורך שליש ממנה. עשו את זה שוב לכל צלע חדשה, ושוב. אחרי כמה שלבים קו המתאר נראה כמו פתית שלג, ועל כל בליטה בו יש בליטות קטנות יותר, ועליהן בליטות קטנות עוד יותר. זהו פתית השלג של קוך, שתיאר המתמטיקאי השוודי הלגה פון קוך בשנת 1904.
צורה שחלקיה הקטנים נראים כמו הצורה כולה היא דומה לעצמה (בעלת דמיון עצמי). פירמידת שרפינסקי פועלת באותו אופן בשלושה ממדים: מחליפים פירמידה בארבע פירמידות בחצי הגודל שיושבות בפינותיה ומשאירות חור באמצע, ואז עושים אותו דבר לכל אחת מהן. ואצלב שרפינסקי תיאר את הגרסה השטוחה, המשולש, בשנת 1915.
נסו: הזיזו את עומק מ־0 ל־1, ואז עד 5, וצפו איך כל חלק מתפצל לעותקים של השלם. אחר כך בחרו התקרבות תחת התקרבות.
התקרבות שלא נגמרת
בסצנה המצלמה נשארת במקומה, והצורה מוגדלת סביב אחת מפינותיה. הפינה של פירמידת שרפינסקי היא עותק בחצי גודל של הפירמידה כולה, ולכן אחרי שהצורה גדלה פי שניים אתם מסתכלים בדיוק על התמונה שממנה התחלתם. פתית השלג עושה אותו דבר בכל פעם שהוא גדל פי שלושה. לתוך פרקטל אמיתי אפשר להתקרב כך לעד, והפרטים בו אף פעם לא נגמרים. בצורות בנויות, כמו פירמידת הפליז, הפרטים נגמרים אחרי כמה שלבים, ולכן הסצנה מוסיפה שלבים חדשים ככל שהחלקים הישנים גדלים.
ממד שבין המספרים השלמים
חצו קו לשניים ותקבלו 2 עותקים. חצו את הצלעות של ריבוע ותקבלו 4 עותקים. חצו את המקצועות של קובייה ותקבלו 8. המספרים האלה הם 2¹, 2² ו־2³, והמעריך הוא הממד: 1, 2 ו־3. באופן כללי, אם צורה בנויה מ־N עותקים של עצמה, שכל אחד מהם 1/s מגודלה, הממד הפרקטלי שלה הוא
D = log N ÷ log s.
פירמידת שרפינסקי בנויה מ־4 עותקים בחצי הגודל: log 4 ÷ log 2 = 2. זהו גוף תלת־ממדי שהממד שלו הוא הממד של משטח. קו המתאר של פתית השלג של קוך בנוי מ־4 עותקים בשליש הגודל: log 4 ÷ log 3 ≈ 1.26. הוא יותר מקו, אבל פחות משטח.
היקף אינסופי, שטח סופי
כל שלב מגדיל את ההיקף של פתית השלג פי 4/3, ולכן אחרי מספיק שלבים קו המתאר ארוך יותר מכל אורך שתבחרו. ובכל זאת, הבליטות שנוספות קטנות כל כך מהר, שהשטח רק מטפס לאט לעבר 8/5 מהמשולש שממנו התחלתם. הפירמידה עושה את התעלול ההפוך: כל שלב מקטין בחצי את נפח הפליז, ולכן בגבול לא נשאר נפח בכלל, ואילו שטח הפנים הכולל של כל החלקים נשאר בדיוק אותו דבר בכל שלב. הכיתוב בסצנה מראה את המספרים האלה כשמשנים את עומק.
פרקטלים בעולם
את המילה פרקטל טבע בנואה מנדלברוט בשנת 1975. שנים קודם לכן הוא שאל מה אורכו של החוף של בריטניה: התשובה תלויה באורך הסרגל, כי סרגל קצר יותר עוקב אחרי מפרצים ולשונות יבשה קטנים יותר, ומודד חוף ארוך יותר. קו חוף מתנהג כמו עקומת קוך שהממד שלה קצת יותר מ־1. שרכים, עצים מסתעפים, רשתות של נהרות, ריאות והפרחונים של כרובית אלמוגים חוזרים על הצורה שלהם לאורך כמה רמות באופן דומה. לספוג מנגר, קובייה שחלקיה האמצעיים נוקבו החוצה שוב ושוב, ושאותו תיאר קרל מנגר בשנת 1926, יש ממד של log 20 ÷ log 3 ≈ 2.73.
מה המודל הזה משאיר בחוץ
לפרקטל אמיתי יש אינסוף שלבים; הסצנה בונה לכל היותר חמישה, ובזמן ההתקרבות היא מוסיפה שלבים רק במקומות שנראים על המסך, ומצמיחה את השלב החדש ביותר בהדרגה. החלקים של הפירמידה נוגעים זה בזה רק בפינותיהם, ולכן דגם פליז אמיתי היה מתפרק; כאן הם מוצגים מרחפים בדיוק במקומם. פרקטלים שנמצאים בטבע דומים לעצמם רק בקירוב, ורק בטווח מוגבל של גדלים.