פרקטלים.

שלב 1 מתוך 8

עותקים של עותקים

פרקטל הוא צורה דומה לעצמה: כל חלק קטן שלה נראה כמו הצורה כולה. פירמידת שרפינסקי נבנית בשלבים: מחליפים פירמידה בארבע פירמידות בחצי הגודל, שיושבות בפינות שלה, ואז עושים אותו דבר לכל אחת מהן. העומק הוא מספר השלבים. בעומק $3$⁠ יש $4^3 = 64$⁠ פירמידות.

שלב 2 מתוך 8

היקף שגדל

פתית השלג של קוך מתחיל ממשולש שווה צלעות. בכל שלב מחלקים כל צלע לשלושה, ובשליש האמצעי מוסיפים משולש קטן שבולט החוצה. כל צלע הופכת כך לארבע צלעות, כל אחת שליש מאורכה. הצורה והעומק קבועים עכשיו.

שלב 3 מתוך 8

בלי סוף

בעומק $5$⁠ כבר קשה לראות את השלבים. ההתקרבות נכנסת לפינה, ושוב ושוב רואים את אותה תמונה. נניח שממשיכים לבנות לנצח.

שלב 4 מתוך 8

ממד שבור

חצו קו לשניים: $2$⁠ עותקים. חצו את הצלעות של ריבוע: $4$⁠ עותקים. של קובייה: $8$⁠. אלה $2^1$⁠, $2^2$⁠ ו־$2^3$⁠, והמעריך הוא הממד. באופן כללי, אם צורה בנויה מ־$N$⁠ עותקים של עצמה, כל אחד $\tfrac{1}{s}$⁠ מגודלה, אז $s^D = N$⁠, והממד הפרקטלי הוא

$D = \frac{\log N}{\log s}$$D =$$\frac{\log N}{\log s}$⁠

בפירמידת שרפינסקי $N = 4$⁠ ו־$s = 2$⁠, ולכן $D = 2$⁠, אף שהיא גוף בשלושה ממדים.

שלב 5 מתוך 8

כמה עותקים

נתחיל שוב מהפירמידה, צעד אחד בלבד.

שלב 6 מתוך 8

כמה קטן

כל עותק דומה לשלם, רק קטן ממנו.

שלב 7 מתוך 8

הנפח

בכל צעד חלק מהפירמידה מוצא. כמה נשאר?

שלב 8 מתוך 8

השטח של הפתית

ההיקף של פתית השלג גדל בלי סוף. מה קורה לשטח?