מקשיבים, לא שואלים
טלפון או מערכת ניווט ברכב אף פעם לא משדרים דבר ללווייני ה־GPS. הם רק מקשיבים. כל אחד מהלוויינים, כשלושים במספר, נושא שעונים אטומיים ומשדר שוב ושוב את השעה בשעון שלו ואת המקום שבו הוא נמצא. זה כל מה שמקלט צריך.
גלי רדיו נעים במהירות האור, כ־300,000 קילומטרים בשנייה. אם אות שנושא חותמת זמן מסוימת מגיע מעט אחריה, ההפרש הוא הזמן שבו האות היה בדרך, וההפרש הזה כפול מהירות האור הוא המרחק ללוויין, הטווח שלו. הלוויינים מקיפים את כדור הארץ בגובה של כ־20,000 קילומטרים מעל הקרקע, ולכן לאות לוקח בערך 70 אלפיות השנייה להגיע. הדיוק הנדרש מדהים: האור עובר 30 סנטימטרים בתוך מיליארדית השנייה, ולכן שגיאת שעון של ננו־שנייה אחת בלבד היא שגיאת טווח באורך של סרגל.
כדורים בחלל
טווח אחד לבדו אומר מעט. אם אתם במרחק 20,350 קילומטרים מלוויין, אתם יכולים להיות בכל מקום על כדור ברדיוס הזה סביבו. לוויין שני נותן כדור שני, ושני כדורים שנחתכים נפגשים במעגל. כדור שלישי חותך את המעגל הזה בשתי נקודות בלבד. אחת מהן בדרך כלל קרובה לקרקע והשנייה רחוקה בחלל, ולכן המקלט יכול לזרוק אותה.
מציאת מיקום לפי המקום שבו מרחקים נחתכים נקראת תילות צלעות (טרילטרציה). מודדים עשו זאת בעזרת סרטי מדידה ושרשראות מדידה הרבה לפני שהיו לוויינים; GPS עושה זאת בעזרת זמן.
נסו: קבעו את מספר הלוויינים על 1, אחר כך על 2 ואחר כך על 3, ובחרו פועל תחת הצגת כדורי התזמון. צפו במעגלים הצבעוניים על הקרקע, היכן שכל כדור פוגש את כדור הארץ, מתכנסים אל הסיכה האדומה.
הלוויין הרביעי
שלושה טווחים היו מספיקים אילו השעון של המקלט היה מושלם, אבל הוא לא. בטלפון יש גביש קוורץ זול, לא שעון אטומי, והוא יכול בקלות לטעות באלפית שנייה. אם השעון של המקלט מקדים, כל אות נראה כאילו הגיע באיחור, ולכן כל טווח יוצא ארוך מדי, וכולם באותה מידה. עם שלושה לוויינים הכדורים נחתכים אז במקום הלא נכון, במרחק מאות קילומטרים.
הטריק הוא להתייחס לשגיאת השעון כעוד נעלם. המיקום דורש שלושה מספרים והשעון עוד אחד, ולכן ארבעה טווחים מספיקים כדי לפתור את ארבעתם בבת אחת. רק נקודה אחת ותיקון שעון אחד גורמים לכל ארבעת הכדורים להיפגש. זו הסיבה שמקלט צריך לפחות ארבעה לוויינים שנראים לו, וזו גם הסיבה שהטלפון שלכם, ברגע שמצא את מיקומו, יודע גם את השעה בדיוק של מיליונית השנייה. לוויינים נוספים מעבר לארבעה הופכים את התשובה ליציבה יותר, במיוחד כשהם פזורים על פני השמיים.
יחסות בכיס
לשעונים של הלוויינים יש בעיה משלהם. תורת היחסות של איינשטיין אומרת ששעון בכבידה חלשה יותר מתקתק מהר יותר, ושעון שנע מהר מתקתק לאט יותר. למעלה במסלול הכבידה חלשה בערך פי 17 מאשר על הקרקע, ובגלל זה השעון של לוויין מקדים בכ־45.7 מיליוניות השנייה ביום. מהירות המסלול שלו, כמעט 3.9 קילומטרים בשנייה, גורמת לו לפגר בכ־7.2. בסך הכול השעון מקדים בכ־38 מיקרו־שניות ביום.
זה נשמע זעיר, אבל כפול מהירות האור זה כ־11 קילומטרים של טווח בכל יום. לכן מכווננים את השעונים לפני השיגור. כל שעון מכוון לתקתק על הקרקע 10.22999999543 מיליון פעמים בשנייה, כך שבמסלול הוא מתקתק בדיוק 10.23 מיליון פעמים בשנייה. המקלטים מבצעים עוד תיקון קטן אחד, כי המסלולים אינם מעגלים מושלמים.
מה המודל הזה משאיר בחוץ
מערך הלוויינים קפוא ברגע אחד, אף שלוויינים אמיתיים משלימים הקפה בכ־12 שעות וכדור הארץ מסתובב מתחתיהם. הלוויינים מצוירים מוגדלים מאוד. מקלטים אמיתיים לא חותכים כדורים ישירות, אלא פותרים את אותן משוואות בשיפור חוזר ונשנה, כפי שהמודל הזה עושה כשיש ארבעה לוויינים או יותר. כאן כל שגיאה מלבד השעון של המקלט מושמטת: השכבה העליונה והטעונה של האוויר ואדי המים שבו מאטים את האות בשיעור ששווה לכמה מטרים של טווח, מיקומי הלוויינים והשעונים שלהם ידועים בדיוק של כמטר בלבד, ואותות שמוחזרים מבניינים מגיעים באיחור. 11 הקילומטרים ביום הם הקצב שבו כל טווח היה זז אילו איש לא היה מתחשב ביחסות. כמה מזה היה מגיע אל המיקום המחושב תלוי באופן שבו השעונים של הלוויינים היו זזים זה ביחס לזה, שכן סטייה משותפת לכולם נראית בדיוק כמו שגיאת שעון של המקלט, והלוויין הרביעי היה בולע אותה.