קשר שאי אפשר להתיר
כל קשר בשרוך נעל אפשר להתיר: מושכים קצה אחד בחזרה דרך הלולאות שהוא עבר בהן. המתמטיקאים סוגרים את דרך המילוט הזאת. קושרים את הקשר, ואז מחברים את שני הקצוות, כך שלחבל אין קצוות בכלל. מה שנשאר הוא קשר במובן המתמטי: לולאה סגורה במרחב.
שתי לולאות נחשבות לאותו קשר אם אפשר להביא אחת לצורה של השנייה בכיפוף, במתיחה ובהזזה של החבל, כל עוד הוא אף פעם לא עובר דרך עצמו ואף פעם לא נחתך. טבעת פשוטה היא הקשר הפשוט מכולם, האל־קשר. לולאה קשורה אם שום הזזה, ככל שתהיה, לא תהפוך אותה לטבעת פשוטה.
זה נשמע קל לבדיקה: מרימים את הלולאה ומנסים. אבל סבך שמסרב להתפרק אולי רק מחכה לצעד מתוחכם יותר, ולכן כישלון בניסיון להתיר אותו לא מוכיח כלום. השאלה שהמאמר הזה עונה עליה היא איך אפשר להיות בטוחים.
לשרטט קשר
קשר חי בשלושה ממדים, אבל הכי קל לחקור אותו על נייר. הסתכלו על הלולאה ישר מלמעלה וציירו את מה שאתם רואים. בכל מקום שבו החבל חוצה את עצמו, קטעו לרגע את המקטע התחתון, כך שהשרטוט עדיין יראה איזה מקטע נמצא למעלה. זו דיאגרמת קשר, והמקומות שבהם היא חוצה את עצמה הם הצמתים שלה.
נסו: עברו אל שרטוט, ואז סובבו את הסצנה עד שתסתכלו ישר מלמעלה על החבל. הוא מכסה את השרטוט של עצמו, וכל רווח בקו הגיר נמצא מתחת למקום שבו החבל צולל מתחת לעצמו.
לאותו קשר יש דיאגרמות רבות. הוסיפו לולאה כאן או פיתול שם, ויש יותר צמתים, אף שהקשר לא השתנה. מה ששייך לקשר עצמו הוא המספר הקטן ביותר של צמתים שיכול להיות לדיאגרמה כלשהי שלו, מספר הצמתים של הקשר. אצל האל־קשר הוא אפס. לאף קשר אין מספר צמתים אחד או שניים: לולאה שמצוירת עם צומת אחד או שניים תמיד אפשר להתיר, ולכן שלוש הלולאות הראשונות בסצנה הופכות כולן בסוף לטבעות פשוטות.
שלושה צעדים מספיקים
בשנת 1927 הוכיח קורט ריידמייסטר שכל שינוי שאפשר לעשות בקשר מופיע בדיאגרמה שלו כרצף של שלושה סוגים בלבד של צעדים מקומיים, לצד עיקומים חלקים שלא נוגעים באף צומת.
- צעד I, הפיתול, יוצר סלסול קטן במקטע אחד, או מבטל אותו. הוא מוסיף או מסיר צומת אחד.
- צעד II, הדחיפה, מחליק מקטע אחד מעל מקטע אחר, או מושך אותו בחזרה. הוא מוסיף או מסיר שני צמתים.
- צעד III, ההחלקה, מעביר מקטע מעבר לצומת של שני מקטעים אחרים, מצד אחד לצד השני. מספר הצמתים נשאר אותו דבר.
לכן שתי דיאגרמות מתארות את אותו קשר בדיוק כאשר רצף כלשהו של הצעדים האלה הופך אחת מהן לשנייה. בסצנה, הלולאה עם הצומת האחד מתפרקת בצעד פיתול יחיד, והלולאה עם שני הצמתים בדחיפה אחת.
נסו: בחרו קשר מדומה ועברו אל ניסיון להתיר. הצד העליון מחליק בחזרה ויורד מהצד התחתון, שני הצמתים נעלמים, והלולאה שנראתה קשורה היא טבעת פשוטה.
יש כאן מלכודת. לפעמים הדרך היחידה להתיר דיאגרמה היא להוסיף קודם צמתים ולהסיר יותר מהם אחר כך, ולכן קשר שמסרב להיעשות פשוט יותר עשוי להיות האל־קשר בתחפושת. כדי להוכיח שקשר באמת קשור צריך משהו אחר: תכונה של הדיאגרמה ששום אחד משלושת הצעדים לא יכול לשנות. תכונה כזאת נקראת אינווריאנט של קשרים.
להוכיח שקשר באמת קשור
אחד האינווריאנטים הפשוטים ביותר הוא צביעה. פרקו את הדיאגרמה לקשתות שלה, קטעי החבל שבין מקום אחד שבו הוא עובר מתחת לבא אחריו. עכשיו נסו לתת לכל קשת אחד משלושה צבעים, ולהשתמש לפחות בשניים מהם, כך שבכל צומת שלוש הקשתות שנפגשות בו יהיו כולן באותו צבע או כולן בצבעים שונים. צביעה כזאת נקראת 3־צביעה.
בדקו כל צעד בתורו ותגלו שהוא אף פעם לא משנה את התשובה: אם לדיאגרמה שלפני הצעד יש 3־צביעה, יש גם לדיאגרמה שאחריו, וגם להפך. טבעת פשוטה היא קשת אחת, ולכן יש לה רק צבע אחד ואין לה 3־צביעה. לקשר התלתן יש. לכן שום רצף של צעדים לא יוכל אף פעם להפוך את קשר התלתן לטבעת פשוטה. הוא קשור, וזו ההוכחה.
נסו: בחרו תלתן ועברו אל ניסיון להתיר. שלוש הקשתות שלו מקבלות שלושה צבעים, ובכל צומת נפגשים שלושתם.
לקשר השמינית אין 3־צביעה, אבל זה לא הופך אותו לאל־קשר. הפעם מספרו את הצבעים, מ־0 עד 4, ודרשו שבכל צומת פעמיים המספר של הקשת העליונה יהיה שווה לסכום המספרים של שתי הקשתות התחתונות, כשסופרים סביב שעון עם חמש שעות. עם שלושה צבעים, אותו כלל הוא בדיוק הכלל של “כולן באותו צבע או כולן בצבעים שונים”. גם צביעות פוקס האלה שורדות כל צעד, לקשר השמינית יש צביעה כזאת בחמישה צבעים, ולכן גם הוא קשור. הסצנה מוצאת לכל אחד מהקשרים שלה את המספר הקטן ביותר של צבעים שעובד: שלושה לקשר התלתן ולקשר הסוור, חמישה לקשר השמינית ולקשר חמשת העלים, ושבעה לקשר שבעת העלים.
כמה קשרים יש?
טבלאות של קשרים מסדרות אותם לפי מספר הצמתים, סופרות קשר ואת תמונת הראי שלו פעם אחת, ומשמיטות קשרים שהם שני קשרים קטנים יותר שנקשרו זה אחרי זה. יש קשר אחד עם שלושה צמתים, קשר התלתן, ואחד עם ארבעה, קשר השמינית. יש שניים עם חמישה צמתים, שלושה עם שישה, שבעה עם שבעה, עשרים ואחד עם שמונה, והמספרים ממשיכים לטפס: יש 1,701,936 קשרים עם שישה־עשר צמתים או פחות. לחמישה, לשישה ולשבעה צמתים הסצנה מראה קשר אחד מכל סוג, זה שמסומן בטבלאות 5₁, 6₁ ו־7₁.
את הטבלאות הראשונות ציירו ביד בשנות ה־1870 וה־1880 פטר גאת’רי טייט, תומאס קירקמן וצ’ארלס ליטל, בעקבות הרעיון של לורד קלווין שאטומים הם אולי לולאות קשורות באֶתֶר. הרעיון היה שגוי, אבל הטבלאות היו טובות להפליא. טייט גם שיער שבדיאגרמה שהצמתים שלה מתחלפים, מעל, מתחת, מעל, מתחת, לכל אורך הלולאה, בלי אף צומת שאפשר להסיר בפיתול, כבר יש המספר הקטן ביותר האפשרי של צמתים. ההשערה הוכחה רק ב־1987. כל קשר שהסצנה מראה מצויר כך.
קשר יכול להיות שונה מתמונת הראי של עצמו. קשר התלתן בא בגרסה שמאלית ובגרסה ימנית, ומקס דן הוכיח ב־1914 שאי אפשר להביא אף אחת מהן לצורה של השנייה. את קשר השמינית, לעומת זאת, אפשר להביא לצורה של תמונת הראי שלו.
קשרים בעולם
מולקולות ארוכות מסתבכות כמו כל חבל ארוך. ה־DNA שבתא היה מסתבך בקשרים ללא תקנה בלי אנזימים שנקראים טופואיזומראזות, שחותכים את הסליל הכפול, מעבירים קטע אחר של DNA דרך הפתח ואוטמים שוב את החתך: בדיוק הצעד שהמתמטיקאי אוסר, שמשמש כאן להתיר קשרים שהזזות לבדן לא יכולות להתיר. מספר קטן של חלבונים מתקפלים לצורות קשורות, ופיזיקאים יצרו לולאות מערבולת קשורות במים, וקווים חשוכים קשורים בתוך אלומות אור.
מה המודל הזה משאיר בחוץ
כל לולאה מוצגת בצורה קבועה אחת, וכל קשר אמיתי בשרטוט עם מספר הצמתים הקטן ביותר שיכול להיות לו. ההתרה מראה דרך אחת לפרק את הלולאות שמתפרקות; בקשרים, הסצנה לא מנסה צעדים בכלל, אלא מראה צביעה, שהיא הוכחה ששום צעדים לא יצליחו לעולם.
צביעות הן לא כל הסיפור. לחלק מהקשרים, כמו קשר קונוויי בעל אחד־עשר הצמתים, אין שום צביעה ביותר מצבע אחד, ובכל זאת הם קשורים. כדי להבחין בהם צריך אינווריאנטים עדינים יותר, כמו הפולינומים שחוקרי קשרים מחשבים מתוך דיאגרמה.
החבל כאן אידיאלי: גמיש לחלוטין, באותו עובי בכל מקום, ויכול להחליק על עצמו בלי חיכוך. חבל אמיתי קשיח ונאחז בעצמו, וזה מה שגורם לקשר של ימאי להחזיק, אבל השאלה אם לולאה סגורה קשורה, ואיזה קשר היא, תלויה רק באופן שבו היא עוברת מעל ומתחת לעצמה.