קשרים.

שלב 1 מתוך 6

קשר מדומה

במתמטיקה קשר הוא לולאה סגורה של חבל: שני הקצוות מחוברים, ולכן אי אפשר לשלוף אותם. את הלולאה מציירים מלמעלה, בשרטוט שבו החבל שעובר מתחת נקטע. נקודה שבה החבל עובר מעל עצמו היא צומת.

שלושה צעדים מזיזים חבל בלי לחתוך אותו: צעד I, הפיתול, מוסיף או מוריד צומת אחד; צעד II, הדחיפה, מוסיף או מוריד שניים; צעד III, ההחלקה, מעביר חבל מעבר לצומת. הצמתים קבועים עכשיו.

שלב 2 מתוך 6

הוכחה שזה קשר

בתלתן כל צומת הוא מעל, מתחת, מעל לסירוגין, ושום צעד לא מוריד צומת. אבל אולי פשוט לא מצאנו את הסדר הנכון? כדי להוכיח שקשר אמיתי, צריך אינווריאנט: תכונה שאף צעד לא משנה.

הכלל של 3־צביעה: צובעים כל קשת של השרטוט, כך שבכל צומת שלוש הקשתות שנפגשות בו צבועות כולן באותו צבע, או כולן בצבעים שונים.

שלב 3 מתוך 6

קשתות

קשת היא קטע של החבל בשרטוט, ממקום אחד שבו הוא נקטע עד המקום הבא. בשלב שרטוט רואים את הקטיעות. הצמתים וההתרה קבועים עכשיו.

שלב 4 מתוך 6

מה הצמתים לא אומרים

מספר הצמתים של קשר הוא המספר הקטן ביותר של צמתים מבין כל השרטוטים שלו: $3$⁠ לתלתן, $4$⁠ לשמינית. שרטוט אחד יכול להכיל יותר צמתים מזה. נסו לחשוב מה שישה צמתים בשרטוט אחד אומרים, ומה לא.

שלב 5 מתוך 6

מספר הצמתים של קשר מדומה

שרטוט אחד יכול להכיל צמתים מיותרים. מספר הצמתים מתעלם מהם.

שלב 6 מתוך 6

חמישה צבעים

אינווריאנט אחד לא מספיק לכל הקשרים. בשרטוט והתרה על שרטוט רואים את הקשתות.