גופים אפלטוניים.

חמש צורות מושלמות

הסתכלו על ערכת קוביות של משחק לוח. לצד הקובייה הרגילה יש קוביות עם 4, 8, 12 ו־20 פאות. כל אחת מהן הוגנת, כי כל הפאות שלה הן אותו מצולע משוכלל וכל קודקוד שלה נראה בדיוק כמו כל קודקוד אחר. גוף עם התכונות האלה נקרא גוף אפלטוני, או פאון משוכלל, ויש רק חמישה כאלה:

• הארבעון: 4 משולשים, 3 נפגשים בכל קודקוד;
• הקובייה: 6 ריבועים, 3 בכל קודקוד;
• התמניון: 8 משולשים, 4 בכל קודקוד;
• התריסרון: 12 מחומשים, 3 בכל קודקוד;
• העשרימון: 20 משולשים, 5 בכל קודקוד.

הם נקראים על שם אפלטון, שבסביבות 360 לפני הספירה התאים ארבעה מהם ליסודות אש, אדמה, אוויר ומים, ואת התריסרון ייחס לשמיים. כשישים שנה אחר כך חתם אוקלידס את ספרו יסודות בהוכחה שגוף שישי כזה אינו קיים.

למה רק חמישה

הכול קורה בקודקוד. לפחות שלוש פאות חייבות להיפגש בו, אחרת הן לא יוכלו להיסגר סביב נקודה. וכשמשטחים את הפאות שבקודקוד, הן חייבות להשאיר רווח: אם הזוויות שלהן היו מסתכמות ב־360° שלמות, הן היו שוכבות שטוחות ולעולם לא היו מתקפלות לפינה מחודדת.

נסו: בחרו קובייה, ואז לחצו על קודקוד בפריסה. שלושה ריבועים של 90° מסתכמים ב־270° ומשאירים רווח של 90°. עכשיו נסו תריסרון: שלושה מחומשים של 108° משאירים רק 36°.

חזרה לניסוי ↑

הכלל הזה משאיר מעט מאוד אפשרויות. הזווית של משולש שווה צלעות היא 60°, ולכן נכנסים בקודקוד שלושה, ארבעה או חמישה משולשים (180°, 240° או 300°), וכך מתקבלים הארבעון, התמניון והעשרימון; שישה היו נותנים בדיוק 360° ושוכבים שטוחים. שלושה ריבועים נכנסים (הקובייה), אבל ארבעה יוצרים רצפה שטוחה. שלושה מחומשים נכנסים (התריסרון). שלושה משושים כבר מגיעים ל־360°, ולכל מצולע עם יותר צלעות יש זוויות רחבות עוד יותר. זו כל הרשימה: חמישה.

הרווח בקודקוד נקרא הגירעון הזוויתי שלו. חברו את הגירעונות בכל הקודקודים של כל אחד מהגופים האלה, ותמיד תקבלו 720°, שני סיבובים שלמים: 8 קודקודים של 90° בקובייה, 20 קודקודים של 36° בתריסרון.

לספור קודקודים, מקצועות ופאות

לחצו על ספירה, והקודקודים (V, מהמילה האנגלית vertices), המקצועות (E, edges) והפאות (F, faces) של הגוף נדלקים אחד אחרי השני. בקובייה $V = 8$⁠, $E = 12$⁠ ו־$F = 6$⁠, ו־$8 - 12 + 6 = 2$⁠. כל אחד מחמשת הגופים נותן את אותה תשובה:

$V - E + F = 2$⁠

לאונרד אוילר הבחין בסביבות 1750 שהשוויון הזה נכון לכל גוף בלי חורים, ולא רק לגופים המשוכללים. הוא נקרא נוסחת אוילר.

פותחים את הגוף לפריסה

לחצו על פריסה, והגוף נפתח ונפרש שטוח על השולחן, כשכל פאה מסתובבת סביב מקצוע אחד שהיא חולקת עם שכנה. הצורה השטוחה היא פריסה: גזרו אותה מקרטון, קפלו לאורך המקצועות הכחולים, והיא תיסגר בחזרה לגוף. לקובייה לבדה יש 11 פריסות שונות; זו שמוצגת היא הפריסה הקומפקטית שמתאימה לשולחן הכי טוב.

הפריסה גם מסבירה את נוסחת אוילר. הקיפולים הכחולים מחזיקים את כל $F$⁠ הפאות יחד בחתיכה אחת בלי שום לולאה, ולשם כך צריך בדיוק $F - 1$⁠ מהם. החיתוכים הוורודים חייבים להגיע לכל קודקוד, אחרת הקודקוד הזה לא יוכל להיפרש שטוח, וגם הם לעולם לא סוגרים לולאה, אחרת חתיכה הייתה נושרת; כדי לחבר $V$⁠ קודקודים בדרך כזו צריך בדיוק $V - 1$⁠ מקצועות. כל מקצוע הוא קיפול או חיתוך, ולכן $E = (F - 1) + (V - 1)$$E =$$(F - 1) + (V - 1)$⁠, ומהעברת אגפים מקבלים $V - E + F = 2$⁠.

איפה הצורות האלה מופיעות

מלח גדל בגבישים בצורת קובייה. נגיפים רבים בונים את מעטפת החלבון שלהם בצורת עשרימון, כי עשרים משולשים זהים יוצרים קופסה סגורה מעותקים רבים של חלק קטן אחד. יצרני קוביות משחק משתמשים בכל חמש הצורות, כי גוף משוכלל נוחת על כל פאה באותה תדירות.

מה המודל הזה משאיר בחוץ

הגוף בנוי מאריחים בעלי עובי, שקצותיהם חתוכים באלכסון כך שהם נפגשים לאורך כל מקצוע, ולאורך כל מקצוע מצויר מוט פליז; המתמטיקה עוסקת רק בפאות החיצוניות. בזמן שהפריסה נפתחת, פאות יכולות לעבור זו דרך זו לרגע; רק ההתחלה והפריסה השטוחה הן מצבים אמיתיים של קרטון מקופל. הקודקוד שליד הגוף הוא עותק נפרד של הפאות שבקודקוד אחד, משוטח כדי להראות את הרווח. נוסחת אוילר כפי שהיא מנוסחת כאן חלה על גופים בלי חורים: צורה כמו מסגרת של תמונה נותנת סכום אחר.