גופים אפלטוניים.

שלב 1 מתוך 9

רווח בקודקוד

גוף אפלטוני בנוי ממצולע משוכלל אחד שחוזר על עצמו, וכל הקודקודים שלו זהים. הכול נקבע בקודקוד: לפחות שלוש פאות נפגשות בו, וכדי שיתקפלו לפינה מחודדת, סכום הזוויות שלהן חייב להיות קטן מ־$360^\circ$⁠.

הרווח שנשאר כשמשטחים את הפאות שבקודקוד נקרא הגירעון הזוויתי. נבאו כמה הוא בקובייה, ואז הסתכלו.

שלב 2 מתוך 9

עשרימון

בכל גוף אפלטוני הגירעון זהה בכל הקודקודים, והוא שווה ל־$360^\circ$⁠ פחות סכום זוויות הפאות שבקודקוד. בעשרימון נפגשים בכל קודקוד חמישה משולשים שווי צלעות. הגוף והפריסה קבועים עכשיו.

שלב 3 מתוך 9

רק חמישה

כל זווית של משולש שווה צלעות היא $60^\circ$⁠, של ריבוע $90^\circ$⁠ ושל מחומש משוכלל $108^\circ$⁠. עברו על כל האפשרויות: שלושה, ארבעה או חמישה משולשים בקודקוד, שלושה ריבועים, שלושה מחומשים. כל אחת משאירה רווח, ונותנת גוף אחד. בחרו גוף ובדקו את הרווח בכל אחד מהם.

שלב 4 מתוך 9

הפריסה ונוסחת אוילר

בשלב ספירה הקודקודים ($V$⁠), המקצועות ($E$⁠) והפאות ($F$⁠) נספרים, ובכל אחד מהגופים $V - E + F = 2$⁠. הפריסה מסבירה למה. הקיפולים מחזיקים את כל הפאות בחתיכה אחת בלי לולאה, ולכן יש $F - 1$⁠ כאלה. החיתוכים מגיעים לכל קודקוד, ואף הם לא סוגרים לולאה. כל מקצוע הוא קיפול או חיתוך. הגוף והפריסה קבועים עכשיו.

שלב 5 מתוך 9

פאות מתוך אוילר

בשלב ספירה רואים את שלושת המספרים. אם יודעים שניים מהם, המשוואה של אוילר נותנת את השלישי.

שלב 6 מתוך 9

פאות וקודקודים

כל גוף משוכלל נקבע בשני מספרים: כמה צלעות לכל פאה, וכמה פאות נפגשות בכל קודקוד. בשלב קודקוד רואים קודקוד אחד מקרוב.

שלב 7 מתוך 9

מחומש

כדי לדעת כמה פאות נכנסות בקודקוד, צריך לדעת כמה גדולה כל זווית שלהן.

שלב 8 מתוך 9

כל הפערים יחד

בכל קודקוד חסר משהו עד מישור שטוח, ובזכות הפערים האלה הגוף נסגר. כמה חסר בכל הקודקודים יחד?

שלב 9 מתוך 9

בין שתי פאות

יש עוד זווית בגוף: הזווית שבה שתי פאות נפגשות לאורך מקצוע, כמו דפים של ספר פתוח.