פיתגורס וגאומטריה.

שלושה ריבועים על משולש

ציירו משולש עם פינה ישרה אחת, זווית ישרה, ובנו ריבוע כלפי חוץ על כל אחת משלוש הצלעות שלו. שתי הצלעות שנפגשות בזווית הישרה נקראות ניצבים, $a$⁠ ו־$b$⁠. הצלע הארוכה שמול הזווית הישרה היא היתר, $c$⁠.

בריבוע על צלע באורך 3 יש $3 \times 3 = 9$⁠ משבצות יחידה, ולכן “3 בריבוע” נכתב $3^2$⁠. כשהניצבים הם 3 ו־4, היתר הוא בדיוק 5, והמשבצות נותנות $9 + 16 = 25$⁠. בשני הריבועים הקטנים יש בדיוק אותו שטח כמו בגדול. זה משפט פיתגורס:

$a^2 + b^2 = c^2$⁠

הוא נכון לכל משולש ישר זווית, לא רק למספרים שלמים. ניצבים של 1 ו־1 נותנים יתר שהריבוע שלו 2, ולכן היתר הוא $\sqrt{2}$⁠, בערך 1.414, מספר שבכלל אינו שבר של מספרים שלמים.

ספירה היא לא הוכחה

ספירת משבצות בודקת משולש אחד. כדי לראות למה הכלל נכון לכולם, כדאי להזיז את השטח עצמו. קחו את הריבוע על הניצב הארוך וחתכו אותו דרך מרכזו בשני קווים ישרים: אחד מקביל ליתר ואחד מאונך לו. כך מתקבלים ארבעה חלקים זהים. עכשיו החליקו כל חלק, בלי לסובב אותו, אל אחת הפינות של הריבוע על היתר. ארבעת החלקים משאירים באמצע חור ריבועי, והריבוע על הניצב הקצר נכנס לחור הזה בדיוק.

נסו: בחרו מסודרים מחדש בסידור מחדש, ואז קבעו את הצלע a על 5 ואת הצלע b על 12 ועשו זאת שוב.

חזרה לניסוי ↑

המתמטיקאי החובב האנגלי הנרי פריגל פרסם את החיתוך הזה לחמישה חלקים ב־1873. זו אחת ממאות ההוכחות הידועות. יסודות של אוקלידס, שנכתב בסביבות 300 לפני הספירה, מוכיח את המשפט בהשוואת שטחים של משולשים בתוך הציור, והוכחות רבות אחרות מסדרות מחדש עותקים של המשולש עצמו.

רק לזוויות ישרות

הכלל צריך את הזווית הישרה. שנו את הזווית, והצלע השלישית משנה את אורכה בזמן ש־$a$⁠ ו־$b$⁠ נשארות כמו שהן. זווית חדה יותר מקרבת את הקצוות של שתי הצלעות, ולכן $c^2$⁠ קטן מ־$a^2 + b^2$⁠, ואותם חלקים עולים עכשיו זה על זה. זווית רחבה יותר מרחיקה את הקצוות זה מזה, ולכן $c^2$⁠ גדול מ־$a^2 + b^2$⁠, ובין החלקים נפתחים רווחים.

כשהחלקים מסודרים מחדש, קבעו את הזווית בין a ל־b על 70° ואחר כך על 110° כדי לראות את שני המקרים.

הכלל הכללי הוא משפט הקוסינוסים: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$c^2 =$$a^2 + b^2 - 2ab \cos C$⁠, כאשר $C$⁠ היא הזווית שבפינה. ב־90° הקוסינוס הוא אפס, האיבר הנוסף נעלם, ונשאר משפט פיתגורס. הכלל עובד גם בכיוון ההפוך: אם שלוש הצלעות מקיימות $a^2 + b^2 = c^2$⁠, הזווית בין $a$⁠ ל־$b$⁠ חייבת להיות ישרה. לולאת חבל שקשרים מחלקים אותה לקטעים באורכים 3, 4 ו־5 יוצרת זווית ישרה כשמותחים אותה.

איפה זה מופיע

המשפט נקרא על שם פיתגורס, הוגה יווני מהמאה השישית לפני הספירה, אבל הוא עתיק ממנו. לוח חרס בבלי מסביבות 1800 לפני הספירה, שידוע בשם פלימפטון 322, מונה סדרות של מספרים שנבנו ממשולשים כאלה, וגם טקסטים הודיים וסיניים מנסחים את הכלל, כל אחד בנפרד.

פתרונות במספרים שלמים כמו 3, 4, 5 ו־5, 12, 13 נקראים שלשות פיתגוריות, ויש אינסוף מהן. המשפט נותן גם את המרחק בקו ישר בין שתי נקודות על רשת: לכו 3 רחובות מזרחה ו־4 צפונה, ואתם במרחק 5 רחובות מנקודת ההתחלה, בקו אוויר. גודל של מסך נקוב לפי האלכסון שלו, שמחושב באותה דרך מהרוחב והגובה, ואותו סכום, כשמרחיבים אותו לשלושה כיוונים, נותן את אורך המקל הארוך ביותר שנכנס לקופסה.

מה המודל הזה משמיט

הלוח שטוח, והמשפט הוא עובדה על גאומטריה שטוחה. על משטח מעוקל כמו כדור הארץ, סכום הזוויות של משולש גדול הוא יותר מ־180°, ו־$a^2 + b^2 = c^2$⁠ כבר לא מתקיים. הסצנה מודדת צלעות במשבצות שלמות או בחצאי משבצות; אורכים אמיתיים יכולים להיות כל מספר, והמשפט נכון לכולם. הזווית נעצרת ב־60° וב־120° כדי שהריבועים והחלקים יישארו קריאים, אף שמשפט הקוסינוסים עובד לכל זווית.