מנהור קוונטי.

מחסום שאי אפשר לטפס עליו

גלגלו כדור אל גבעה. אם יש לו מספיק אנרגיה כדי להגיע לפסגה, הוא מתגלגל מעליה; אם אין לו, הוא מתגלגל בחזרה למטה, בכל פעם. שום דבר בחיי היום־יום לא חומק אף פעם דרך גבעה שאין לו כוח לטפס עליה.

הסצנה מראה את אותו מצב עבור אלקטרון. הוא נע לאורך קו עם אנרגיה של 1 אלקטרון וולט (eV), האנרגיה שאלקטרון צובר כשהוא עובר הפרש מתח של וולט אחד. הקו המקווקו הזהוב מסמן את האנרגיה הזאת. לפניו יש מחסום: קטע בעובי 0.3 ננומטר, בערך רוחב של אטום אחד, שכדי להימצא בו האלקטרון היה צריך 2 eV. כדור עם חצי מהאנרגיה שהוא צריך היה חוזר ישר לאחור. גם האלקטרון חוזר לאחור ברובו, אבל כ־17 אחוז ממנו יוצאים בצד השני. זהו מנהור קוונטי.

גל, לא כדור

אלקטרון לא נע כמו כדור זעיר. הוא נע כמו גל, פרוס על פני אזור, שמתואר על ידי פונקציית גל. גובה הווילון הכחול מראה איפה סביר שהאלקטרון נמצא: ככל שהווילון גבוה יותר במקום מסוים, כך סביר יותר שתמצאו שם את האלקטרון אם תסתכלו.

צפו בווילון פוגע במחסום. במקום שבו החלק החוזר חופף לחלק שעדיין מגיע, שני הגלים מתחברים ומבטלים זה את זה, והווילון מתפרק לאדוות. ואז הוא מתפצל: גוש גדול רץ בחזרה שמאלה וגוש קטן ממשיך ימינה. התוויות מעל כל צד מראות את החלק של הווילון שנמצא בכל צד של המחסום, כפי שהוא נמדד מהווילון בזמן שהוא נע.

האלקטרון עצמו לא מתפצל. אם תציבו גלאי בכל צד, אחד מהם יקיש וימצא אלקטרון שלם. הווילון נותן את הסיכויים: כאן, בערך 17 פעמים מכל 100 האלקטרון נמצא מעבר למחסום.

נסו: העלו את גובה המחסום ל־4 eV. עכשיו רק כ־1.5 אחוז עוברים. אחר כך הורידו את עובי המחסום ל־0.1 nm: כשעובי המחסום הוא שליש ממה שהיה, יותר מ־40 אחוז עוברים, אף שהוא עדיין גבוה פי ארבעה מהגובה שהאלקטרון מסוגל לטפס אליו.

חזרה לניסוי ↑

בתוך המחסום

העבירו את מבט לתוך המחסום לשלב בתוך המחסום. התצוגה מתקרבת פי שלושה אל המחסום ומראה את הגל היציב של אלקטרון עם אנרגיה של בדיוק 1 eV. שני החלקים שלו, המצוירים כגובה וכעומק, יוצרים צורה של חולץ פקקים שמסתובבת עם הזמן; השרוול שסביבה מראה את גודל הגל.

משמאל הגל גדול: הגל המגיע והגל המוחזר יחד. בתוך המחסום הוא לא נעצר בבת אחת. הוא מפסיק להתנדנד ודועך בהדרגה, ומתכווץ באותו שיעור בכל צעד עמוק יותר. זוהי דעיכה מעריכית. במחסום של 2 eV הסיכוי למצוא את האלקטרון נחצה כל 0.068 ננומטר. מה שנשאר בצד הרחוק הופך לגל הקטן והיציב שממשיך ימינה.

מחסום שגובהו מעל אנרגיית האלקטרון כפול גורם לדעיכה מהירה יותר, אבל אף פעם לא פתאומית. הגל מגיע לאפס רק במחסום גבוה לאין סוף או עבה לאין סוף, ולכן חלק ממנו תמיד עובר.

מחסומים עבים יותר מעבירים הרבה פחות

העבירו את מבט לתוך המחסום לשלב מחסומים עבים יותר. הגרף שליד הסצנה משרטט את החלק שעובר כפונקציה של עובי המחסום, עבור המחסום שקבעתם. הסולם שלו יורד בצעדים של פי עשרה: 100 אחוז, 10, 1, 0.1 וכן הלאה. בסולם כזה ירידה מעריכית היא קו ישר, ובכל מחסום שגבוה מאנרגיית האלקטרון העקומה הופכת די מהר לקו כזה.

במחסום של 2 eV, כל 0.1 ננומטר נוספים מקטינים את החלק שעובר פי 2.8 בערך. מחסום בעובי 0.3 ננומטר מעביר 17 אחוז, מחסום בעובי 0.6 ננומטר כאחוז אחד, ומחסום בעובי 1 ננומטר שתי מאיות של אחוז אחד. קצב הירידה נקבע על ידי

$\kappa = \frac{\sqrt{2m(V - E)}}{\hbar}$$\kappa =$$\frac{\sqrt{2m(V - E)}}{\hbar}$⁠

כאשר $V$⁠ הוא גובה המחסום, $E$⁠ האנרגיה של האלקטרון, $m$⁠ המסה שלו ו־$\hbar$⁠ קבוע פלאנק המצומצם. במחסום עבה, החלק שעובר יורד יחד עם $e^{-2\kappa a}$⁠, כאשר $a$⁠ הוא העובי: כל פרוסה נוספת של מחסום מקטינה אותו פי אותו מספר.

נסו: כשהשלב מחסומים עבים יותר מוצג, הזיזו את גובה המחסום מ־2 ל־4. הקו בגרף נוטה בתלילות רבה הרבה יותר: כל 0.1 ננומטר נוספים מקטינים עכשיו את החלק שעובר פי 5.9 בערך.

חזרה לניסוי ↑

למה כדורים אף פעם לא עוברים במנהור

המסה נמצאת מתחת לשורש הריבועי ב־$\kappa$⁠. פרוטון כבד פי 1,836 מאלקטרון, ולכן הוא דועך מהר פי 43 בערך באותו מחסום, והסיכוי שלו לעבור דרך מחסום בעובי 0.3 ננומטר קטן מאחד ל־10⁵⁶. אצל כדור טניס, לסיכוי יש מאות מיליוני מיליונים של אפסים אחרי הנקודה העשרונית. מנהור קורה באמת לכל דבר, אבל הוא חשוב רק לחלקיקים הקלים ביותר ולמרחקים הקצרים ביותר, ולכן אנחנו אף פעם לא רואים אותו.

גם מחסום נמוך מחזיר חלק

הורידו את גובה המחסום ל־0.5 eV, חצי מהאנרגיה של האלקטרון. כדור היה מתגלגל מעליו בכל פעם. גם הגל של האלקטרון עובר ברובו, אבל כ־9 אחוז ממנו חוזרים לאחור. שינוי פתאומי בגובה מחזיר חלק מכל גל, כמו שזגוגית מחזירה מעט מהאור שעובר דרכה. העבירו את מבט לתוך המחסום לשלב מחסומים עבים יותר, והגרף מראה שהחלק שעובר כבר לא יורד עם העובי; הוא עולה ויורד מעט, כשההחזרות משתי הפאות של המחסום מתחברות או מבטלות זו את זו.

איפה מנהור חשוב

• השמש. פרוטונים במרכז השמש דוחים זה את זה חזק מכדי שיוכלו לגעת זה בזה, אפילו ב־15 מיליון מעלות. חלק זעיר מההתנגשויות עובר במנהור דרך הדחייה הזאת ומתמזג, וזה מספיק כדי שהשמש תמשיך לזרוח. היתוך גרעיני עוקב אחרי מה שקורה אחר כך.
• דעיכת אלפא. בשנת 1928 הסבירו ג’ורג’ גאמוב, ובנפרד ממנו רונלד גרני ואדוארד קונדון, למה כמה גרעינים כבדים פולטים חלקיק אלפא: הוא עובר במנהור החוצה דרך המחסום שמחזיק אותו בפנים. הדעיכה המעריכית מסבירה למה זמני מחצית החיים נעים משברירי שנייה ועד מיליארדי שנים. דעיכה רדיואקטיבית מראה את התוצאה.
• לראות אטומים. מיקרוסקופ מנהור סורק מחזיק קצה מתכת חד במרחק של שבריר ננומטר מעל משטח. אלקטרונים עוברים במנהור דרך הרווח, והזרם משתנה פי עשרה בערך על כל 0.1 ננומטר שהרווח משתנה, כך שהקצה יכול לחוש את הבליטות של אטומים בודדים. גרד ביניג והיינריך רורר בנו את הראשון בשנת 1981 וחלקו בפרס נובל לפיזיקה בשנת 1986.
• אלקטרוניקה. זיכרון הבזק שומר ביט על ידי דחיפת אלקטרונים דרך שכבה מבודדת דקה אל אי מבודד של סיליקון, ושם הם נשארים במשך שנים. וככל שהטרנזיסטורים מתכווצים, אלקטרונים שעוברים במנהור דרך שכבות מבודדות שעוביין כמה אטומים בלבד הופכים לדליפה שמתכנני שבבים נאלצים להיאבק בה.

מה המודל הזה משאיר בחוץ

• קו אחד, דפנות חדות. האלקטרון נע לאורך קו יחיד, והמחסום עולה ויורד בשוליים חדים לגמרי. מחסומים אמיתיים מעוגלים, ואלקטרונים אמיתיים נעים בשלושה ממדים. הדעיכה המעריכית זהה בכל מחסום שרחב ביחס למרחק שבו הגל דועך.
• אלקטרון אחד, לבד. האלקטרון לא מרגיש דבר מלבד המחסום: אין אלקטרונים אחרים, אין אטומים, אין חום. בחומר אמיתי כל אלה משנים את האנרגיות המעורבות.
• פיזור של אנרגיות. לחבילת גלים שיש לה מקום לאורך הקו לא יכולה להיות אנרגיה אחת מדויקת. רוב האנרגיה של החבילה הזאת נמצאת בין 0.86 ל־1.16 eV בערך, סביב הממוצע שלה, 1 eV, והחלקים בעלי האנרגיה הגבוהה יותר עוברים במנהור בקלות רבה יותר, ולכן החלק שעובר דרך מחסום עבה גדול מעט יותר מאשר אצל אלקטרון עם אנרגיה של בדיוק 1 eV. לגל היציב בתקריב יש בדיוק 1 eV.
• הציור. הווילון מראה את הסיכוי למצוא את האלקטרון, שהוא ריבוע הגודל של פונקציית הגל; את פונקציית הגל עצמה אי אפשר לראות או למדוד ישירות. בציור, הכיוון כלפי מעלה הוא אנרגיה עבור המחסום והקו הזהוב, אבל סיכוי עבור הווילון, שעומד על גובה האנרגיה של האלקטרון כדי להראות איזו אנרגיה יש לו.
• זמן. הכול מואט מאוד, וההרצה נקטעת כששני החלקים מגיעים לקצות המסלול. כמה זמן מנהור “לוקח” היא שאלה עדינה שהסצנה לא עונה עליה.