שני שעונים עשויים מאור
השעון הפשוט ביותר שאפשר לדמיין הוא הבזק אור שקופץ הלוך ושוב בין שתי מראות, אחת מעל השנייה. בכל פעם שההבזק חוזר למראה התחתונה, השעון מתקתק. בסצנה יש שני שעוני אור כאלה, זהים לגמרי: אחד עומד על רציף התחנה, והשני נוסע באמצע קרון רכבת עם דפנות זכוכית.
כשהרכבת עומדת, שני ההבזקים עולים ויורדים ישר, יחד, והלוח שמעל המסילה סופר אותו מספר תקתוקים לשניהם. הניעו את הרכבת, ושתי הספירות מתחילות להתרחק זו מזו. השעון של הרכבת מפגר. ככל שהרכבת מהירה יותר, כך הוא מפגר יותר. הלוח מתחיל לספור מחדש בכל פעם שהרכבת יוצאת מהמנהרה או שאתם משנים את המהירות שלה, וכשאתם עוצרים את הרכבת היא מחכה ליד הרציף.
נסו: הזיזו את מהירות הרכבת מ־0 c דרך 0.5 c ו־0.866 c, שבה γ = 2, ועד 0.995 c. הסתכלו על שתי הספירות שעל הלוח, וראו גם איך הקרון עצמו מתקצר ככל שהוא נוסע מהר יותר.
האור עושה את הדרך הארוכה
אין שום תקלה בשעון של הרכבת. מי שיושב ברכבת רואה את ההבזק שלה עולה ויורד ישר, בדיוק כמו ההבזק של הרציף. ההבדל הוא במה שרואים מהרציף.
מהרציף, הרכבת ממשיכה לנסוע בזמן שההבזק נמצא בין המראות. כדי לפגוע במראה העליונה ההבזק צריך לנוע באלכסון, וגם בדרך חזרה למטה הוא נע באלכסון, כך שהוא משרטט זיגזג לאורך המסילה. מסלול אלכסוני ארוך יותר ממסלול ישר.
בשנת 1905 בנה אלברט איינשטיין תאוריה על שני כללים. חוקי הפיזיקה זהים לכל מי שנע במהירות קבועה, והאור בחלל ריק נע תמיד באותה מהירות, c, כ־300,000 קילומטרים בשנייה, לא משנה מי מודד אותו וכמה מהר הוא עצמו נע. לכן ההבזק של הרכבת לא יכול להאיץ כדי לעבור את המסלול הארוך יותר. הוא חייב לקחת יותר זמן. כל תקתוק של שעון הרכבת, כפי שהוא נראה מהרציף, נמשך יותר זמן מתקתוק של שעון הרציף.
נסו: עברו בהצגת פקטור לורנץ אל מסלולי האור. ההבזק של הרכבת משאיר מאחוריו זיגזג על המסילה. העלייה או הירידה האחרונה שלו מצוירת כמשולש ישר זווית: המרווח בין המראות, L, המרחק שהרכבת עברה, v·t, והמסלול האלכסוני שהאור עבר, c·t.
פקטור לורנץ
פיתגורס משלים את העבודה. במעבר אחד בין המראות, האלכסון, המרווח והמרחק שהרכבת עברה יוצרים משולש ישר זווית: (c·t)² = L² + (v·t)². בשעון הרציף אותו מעבר נמשך t₀ = L/c. חברו את שני אלה, ותגלו שהמעבר ברכבת ארוך יותר פי גורם שנקרא פקטור לורנץ, ומסומן γ (האות היוונית גמא):
במהירויות יומיומיות γ קרוב כל כך ל־1 שאיש לא יכול להבחין בכך: במטוס נוסעים הוא שונה מ־1 בפחות מחלק אחד בטריליון. בחצי ממהירות האור הוא 1.15. ב־0.87 c הוא 2, ושעון הרכבת מתקתק פעם אחת על כל שני תקתוקים ברציף. ככל שהמהירות מתקרבת ל־c, γ עולה בלי גבול. ההאטה הזאת של שעונים נעים נקראת התארכות הזמן.
זה לא נוגע רק לשעוני אור. כל שעון ברכבת, כל פעימת לב וכל תגובה כימית שומרים על אותו קצב כמו שעון האור, אחרת הנוסעים היו יכולים לדעת שהם נעים פשוט על ידי השוואה ביניהם. הזמן עצמו עובר לאט יותר ברכבת, כפי שהוא נמדד מהרציף.
אותו גורם גם מקצר את הרכבת. כשמודדים מהרציף, גוף נע קצר פי γ לאורך כיוון התנועה שלו, והגובה והרוחב שלו לא משתנים. זו התכווצות האורך. הקרון שאורכו 20 מטרים, ב־0.8 c, נמדד מהרציף באורך 12 מטרים.
נסו: המשיכו בהצגת פקטור לורנץ אל פקטור לורנץ. קו מקווקו מראה את אורך הקרון במנוחה סביב הקרון הנע והקצר יותר, והגרף שליד הסצנה משרטט את γ כפונקציה של המהירות, עם מהירות הרכבת מסומנת על העקומה.
השעון של מי מפגר?
היחסות סימטרית. הנוסעים ברכבת רשאים לומר שהם במנוחה ושהרציף הוא שנע לאחור. מבחינתם, ההבזק של הרציף הוא שמשרטט זיגזג, השעון של הרציף הוא שמפגר, והרציף הוא שקצר יותר. שני הצדדים צודקים, כי הם לא מסכימים אילו מאורעות רחוקים מתרחשים באותו רגע. אי ההסכמה הזאת, יחסיות הסימולטניות, היא מה שמאפשר לכל צד למצוא שהשעון של הצד השני מפגר, בלי סתירה.
זה באמת קורה
מיואונים הם חלקיקים קצרי חיים שנוצרים כשקרניים קוסמיות פוגעות בחלק העליון של האטמוספרה, בגובה של כ־15 קילומטרים. במנוחה מיואון חי בממוצע כ־2.2 מיליוניות השנייה, זמן שמספיק לו לעבור רק כ־660 מטרים, גם במהירות קרובה למהירות האור. ובכל זאת רבים מהם מגיעים לקרקע. הם נעים במהירות של כ־0.995 c, שבה γ הוא בערך 10, ולכן השעונים שלהם מתקתקים לאט פי עשרה כפי שהם נמדדים מהקרקע, והם חיים מספיק זמן כדי להגיע. מנקודת המבט של המיואון, דווקא האטמוספרה דקה פי עשרה.
מאיצי חלקיקים מסובבים חלקיקים במעגל הרבה יותר זמן משהיו מחזיקים מעמד במנוחה, ובשנת 1971 שעונים אטומיים שהוטסו סביב העולם במטוסי נוסעים חזרו כשהם שונים מהשעונים שנשארו על הקרקע בעשרות עד מאות מיליארדיות השנייה, כפי שחזתה תורת היחסות. לווייני GPS חייבים לתקן את התארכות הזמן (וגם את השפעת הכבידה על הזמן, מתורת היחסות הכללית), אחרת המיקומים שלהם היו נסחפים בקילומטרים בכל יום.
מה המודל הזה משאיר בחוץ
הסצנה רחוקה מאוד מקנה מידה. האור נע כאן בערך 4 מטרים בשנייה במקום 300,000 קילומטרים בשנייה, כדי שתוכלו לעקוב אחריו, והרכבת מואטת באותו קנה מידה, כך שהיחס בין המהירויות שלהם נכון. תקתוק אמיתי של שעון אור בגובה 2.4 מטרים נמשך 16 מיליארדיות השנייה.
הסצנה מראה איפה כל דבר נמצא ברגע אחד של זמן הרציף, וזה מה שהמדידות של הרציף אומרות. מצלמה על הרציף הייתה רואה משהו אחר, כי האור מהקצה הרחוק של הרכבת לוקח יותר זמן להגיע: גוף שנע מהר ומצולם כך נראה מסובב ולא מעוך. שתי הספירות שעל הלוח הן מה שהרציף רואה בשני השעונים; הלוח לא מראה איך שני קצות הרכבת חלוקים לגבי הסימולטניות. הרכבת מאיצה ומאטה ברגע שאתם מזיזים את המחוון, והסצנה מתעלמת ממה שקורה בזמן ההאצה, דבר שתורת היחסות הפרטית יודעת לטפל בו, אבל המודל הזה לא.