תורת היחסות הפרטית.

שלב 1 מתוך 6

שני שעוני אור

ב־1905 בנה איינשטיין את תורת היחסות הפרטית על שני עקרונות. הראשון: חוקי הפיזיקה זהים לכל מי שנע במהירות קבועה, ואין ניסוי שיגלה מי “באמת” עומד. השני: מהירות האור בריק, $c \approx 3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$$c \approx$$3 \times 10^8\ \mathrm{m/s}$⁠, זהה לכל צופה, לא משנה כמה מהר הוא נע.

בסצנה שני שעוני אור זהים: הבזק אור שקופץ בין שתי מראות, ותקתוק בכל פעם שהוא חוזר למטה. אחד על הרציף ואחד ברכבת. מהירות הרכבת היא 0, הרכבת עומדת, והלוח סופר לשני השעונים אותו מספר תקתוקים. הזיזו את מהירות הרכבת ושימו לב לשתי הספירות.

שלב 2 מתוך 6

המסלול האלכסוני

מהרציף, הרכבת נוסעת בזמן שההבזק שלה עולה, ולכן ההבזק עובר באלכסון. במסלולי האור, הצגת פקטור לורנץ משרטטת את המשולש של חצי תקתוק: המרווח בין המראות $L$⁠, הדרך שהרכבת עברה $vt$⁠, והאלכסון שהאור עבר $ct$⁠. לפי משפט פיתגורס $(ct)^2 = L^2 + (vt)^2$$(ct)^2 =$$L^2 + (vt)^2$⁠. ברציף אותו מעבר נמשך $t_0 = L/c$⁠, ומכאן

$t = \gamma\, t_0, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$t =$$\gamma\, t_0, \qquad \gamma =$$\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$⁠

$\gamma$⁠ נקרא פקטור לורנץ. מהירות הרכבת נעולה על 0.6 c.

שלב 3 מתוך 6

התארכות הזמן

כל תקתוק של שעון הרכבת, כפי שמודדים מהרציף, נמשך $\gamma$⁠ תקתוקים של שעון הרציף. לכן בזמן ששעון הרציף סופר $n$⁠ תקתוקים, שעון הרכבת סופר רק $\dfrac{n}{\gamma}$⁠. זו התארכות הזמן. זה לא קשור לשעוני אור דווקא: כל שעון ברכבת, וגם הלב של הנוסעים, מתקתק באותו קצב, אחרת הנוסעים היו יכולים לגלות שהם נעים. כאן מהירות הרכבת נעולה על 0.8 c.

שלב 4 מתוך 6

התכווצות האורך

אותו $\gamma$⁠ מקצר את הרכבת. כשמודדים מהרציף, גוף נע קצר פי $\gamma$⁠ לאורך כיוון התנועה, והגובה והרוחב שלו לא משתנים. זו התכווצות האורך. אורכו של הקרון במנוחה 20 m, ולכן מהרציף

$L = \frac{20\ \mathrm{m}}{\gamma}$$L =$$\frac{20\ \mathrm{m}}{\gamma}$⁠

שלב 5 מתוך 6

של מי השעון איטי?

לפי העיקרון הראשון, לנוסעת ברכבת מותר לומר שהיא עומדת והרציף הוא שנוסע. מנקודת המבט שלה, ההבזק שלה עולה ויורד ישר, והשעון שלה מתקתק כרגיל. מה היא רואה כשהיא מסתכלת על שעון הרציף?

שלב 6 מתוך 6

מיואונים

מיואונים הם חלקיקים שנוצרים בגובה של כ־$15$⁠ קילומטרים, כשקרינה קוסמית פוגעת באטמוספרה. במנוחה מיואון חי בממוצע $2.2$⁠ מיליוניות השנייה, ובזמן כזה, אפילו במהירות האור, הוא עובר רק כ־660 m. ובכל זאת רבים מהם מגיעים לקרקע. הם נעים בערך ב־0.995 c, וזו מהירות הרכבת עכשיו. הגרף שליד הסצנה מראה את $\gamma$⁠ במהירות הזאת: בערך $10$⁠.

ככל שהמהירות מתקרבת ל־$c$⁠, $\gamma$⁠ גדל בלי גבול. לכן שום גוף בעל מסה לא מגיע למהירות האור.