גלים עומדים ומוזיקה.

רק חלק מהגלים מתאימים

פרטו על מיתר של גיטרה, והוא שר צליל אחד וברור. לחצו אותו אל סריג כדי לקצר אותו, והצליל עולה. נשפו מעל פיה של בקבוק, הוסיפו מים, וגם אז הצליל עולה. מיתר או עמוד אוויר יכולים לרטוט באינספור דרכים, ובכל זאת הם מתייצבים על כמה צלילים מסוימים. למה דווקא אלה?

גל שנשלח לאורך מיתר רץ עד הקצה, מוחזר וחוזר. גלים ממשיכים לרוץ לשני הכיוונים, והם מצטרפים זה לזה. כמעט בכל תדירות ההחזרות מגיעות שלא בתיאום ומבטלות זו את זו. רק כשמספר שלם של חצאי אורך גל נכנס בדיוק באורך, ההחזרות מגיעות בתיאום, והמיתר מתייצב בדפוס קבוע שמתנודד במקומו ולא מתקדם. זה גל עומד.

צמתים ובטנים

לגל עומד יש נקודות שאף פעם לא זזות, שנקראות צמתים, ונקודות באמצע הדרך ביניהן שזזות הכי הרבה, שנקראות בטנים. את קצות המיתר מחזיקים הגשרים, ולכן הם חייבים להיות צמתים. הדפוס הפשוט ביותר שמתאים הוא קשת אחת: חצי אורך גל מקצה לקצה. לבא אחריו יש שתי קשתות עם צומת באמצע, לזה שאחריו שלוש, וכן הלאה.

צינור פתוח בשני קצותיו פועל באותו אופן, רק שהתפקידים מתחלפים. האוויר בקצה פתוח חופשי לנהור פנימה והחוצה, ולכן הקצוות הם בטנים של התנועה; הלחץ שם נשאר כמו הלחץ בחדר, כי הצינור פתוח אליו. ביניהם האוויר נע בגלים הלוך ושוב לאורך הצינור, ובצמתים שבאמצע הוא מצטופף לדחיסות ומתדלל חליפות. הדפוסים נראים שונים, אבל הספירה זהה: נכנס חצי אורך גל אחד, או שניים, או שלושה.

נסו: הזיזו את הרמוניה ל־3 ואת פירוק הצליל אל צמתים ובטנים. ספרו את הנקודות הכתומות על המיתר: ארבעה צמתים, שניים מהם בגשרים. בצינור יש שלושה, כולם באוויר שבין הקצוות הפתוחים.

חזרה לניסוי ↑

סולם של צלילים

אם $n$⁠ חצאי אורך גל נכנסים באורך $L$⁠, אורך הגל הוא $2L/n$⁠. התדירות של גל היא המהירות שלו חלקי אורך הגל שלו, ולכן

$f_n = \frac{n\,v}{2L}$$f_n =$$\frac{n\,v}{2L}$⁠

כאשר $v$⁠ היא מהירות הגל. הנמוכה ביותר, $n = 1$⁠, היא התדירות היסודית: היא קובעת את הצליל שאנחנו שומעים. האחרות, בתדירות כפולה, משולשת ומרובעת ממנה, הן ההרמוניות (שנקראות גם צלילים עיליים). הכפלת התדירות היא אוקטבה, ולכן ההרמוניה השנייה היא הצליל שגבוה ממנה באוקטבה, השלישית באוקטבה וקווינטה, והרביעית בשתי אוקטבות. אלה בדיוק המרווחים שנשמעים יחד הכי ערבים, הקונסוננטיים ביותר, וזה לא מקרה: יש להם כל כך הרבה הרמוניות משותפות.

הנוסחה מסבירה גם כל דרך לכוונן כלי נגינה. מיתר או צינור קצרים יותר נותנים צליל גבוה יותר: זה מה שעושים הסריגים, חורי האצבעות והמגלשה של הטרומבון. במיתר, $v$⁠ נקבעת לפי כמה הוא מתוח וכמה הוא כבד: $v = \sqrt{T/\mu}$⁠, המתיחות חלקי המסה למטר. הדקו את יתד הכיוון והצליל עולה; המיתרים העבים והכבדים מנגנים את הצלילים הנמוכים.

נסו: בחרו דו אמצעי, ואחר כך לה של כיוון. האורך מתקצר מ־65.5 cm ל־39 cm והתדירות מטפסת מ־262 Hz ל־440 Hz, באותו יחס.

חזרה לניסוי ↑

הרבה הרמוניות בבת אחת

מיתר אמיתי לא בוחר דפוס אחד. פריטה מושכת אותו לפינה חדה, ופינה אפשר לבנות רק מהרבה גלים עומדים שמצטרפים יחד, ולכן מיתר פרוט רוטט בתדירות היסודית שלו ובהרבה הרמוניות בבת אחת. כולן מתאימות לאותו אורך, ולכן התדירויות שלהן הן כפולות מדויקות של התדירות היסודית, והאוזן שומעת אותן כצליל אחד.

כמה מכל הרמוניה מקבלים תלוי באופן שבו הצליל נוצר. פריטה לא מעוררת אף הרמוניה שיש לה צומת בנקודת הפריטה: פרטו בחמישית מהאורך, כמו בסצנה, וההרמוניה החמישית חסרה. פרטו קרוב לגשר וההרמוניות הגבוהות מתחזקות, ולכן גיטריסטים פורטים שם בשביל צליל בהיר ומצטלצל, ומעל פתח התהודה בשביל צליל רך. צינור שנושפים בו בעדינות, כמו חליל, שם כמעט הכול בתדירות היסודית ורק מעט בכמה ההרמוניות הבאות.

גוון הקול של כלי נגינה, התכונה שמבדילה בין חליל לגיטרה שמנגנים אותו צליל, הוא בעיקר התמהיל הזה. הזיזו את פירוק הצליל אל גוון הקול: התצוגה מראה את שני הכלים בדיוק באותו גובה צליל, עם עמודות הרמוניות שונות וגלי קול בצורות שונות.

נסו: גיטריסטים מנגנים “הרמוניות” כשהם נוגעים קלות במיתר באמצעו בזמן הפריטה. האצבע כופה צומת במקום הזה, וכך משתיקה כל הרמוניה שזקוקה לתנועה באמצע, והצליל קופץ באוקטבה. העלו את הרמוניה ל־2 וראו את הצומת שהאצבע יוצרת.

חזרה לניסוי ↑

מה המודל הזה משאיר בחוץ

המיתר בסצנה אף פעם לא מאבד אנרגיה, ואילו מיתר אמיתי דועך בתוך כמה שניות, קודם ההרמוניות הגבוהות שלו, ולכן הצליל נעשה רך יותר ככל שהוא גווע. מיתרים אמיתיים גם קשיחים מעט, וזה דוחף את ההרמוניות הגבוהות שלהם מעט מעל הכפולות המדויקות; מכווני פסנתרים מותחים את האוקטבות שלהם כדי לפצות על כך. צינור פתוח אמיתי מתנהג כאילו היה ארוך מעט ממה שהוא, כי הגל העומד בולט החוצה מעבר לכל קצה פתוח בכשליש מרוחב הצינור.

תמהיל ההרמוניות של הצינור הוא צורה אופיינית לצינור שפה שנושפים בו בעדינות, לא מדידה של כלי מסוים, והתמהיל של המיתר מניח פריטה אידאלית בנקודה אחת. גוון הקול תלוי גם באופן שבו הצליל מתחיל ודועך, ובגוף הכלי, שמעדיף תדירויות מסוימות על פני אחרות. הסצנה מראה את המיתר רוטט במישור אחד ומציירת את תנודת האוויר גדולה פי אלפים רבים מגודלה האמיתי, כדי שאפשר יהיה לראות את התנועה בכלל.

צינור שסגור בקצה אחד פועל לפי כלל אחר: הקצה הסגור חייב להיות צומת, ולכן מתאימות רק הרמוניות אי־זוגיות, והתדירות היסודית שלו נמוכה באוקטבה מזו של צינור פתוח באותו אורך. זה חלק מהסיבה שקלרינט נשמע כל כך שונה מחליל.