אותו דבר אחרי סיבוב
סובבו פתית שלג בשישית של סיבוב שלם, והוא ייראה בדיוק כמו קודם. סובבו כוכב ים בחמישית סיבוב, ויקרה אותו דבר. לצורה יש סימטריה סיבובית כשסיבוב כלשהו, קטן מסיבוב שלם, משאיר אותה בלי שינוי; אם הסיבוב הקטן ביותר כזה הוא 360° ÷ n, הסימטריה היא מסדר n, והנקודה שסביבה מסובבים היא מרכז הסיבוב.
הצלחת בסצנה מתחילה ממוטיב קטן אחד, ענף מסולסל עם חרוז ועלה, שאין לו שום סימטריה. כל השאר על הצלחת הם עותקים שלו, מסובבים סביב פין הפליז ב־360° ÷ n, ב־2 × 360° ÷ n וכן הלאה. כל כמה שניות הצלחת מסתובבת צעד אחד, וכשהיא נעצרת שום דבר לא השתנה.
מראות
לפרפר יש סוג אחר של סימטריה: הצד השמאלי שלו הוא תמונת המראה של הצד הימני. הקו שאפשר להעמיד עליו מראה הוא ציר שיקוף. הפעלת המראות מעמידה לוח זכוכית על כל ציר שיקוף של התבנית, ונותנת לכל עותק של המוטיב תאום משוקף, שמסתלסל לצד השני.
נסו: בחרו כוכב ים כדי לקבוע את סדר הסיבוב על 5, ואז העבירו את המראות בין פועל לכבוי. כשהמראות כבויות כל הענפים מסתלסלים לאותו צד, כמו שבשבת; כשהן פועלות לכל ענף יש תאום, ואפשר לקפל את התבנית לאורך כל לוח זכוכית.
שם לחבורה
כל הפעולות שמשאירות תבנית בלי שינוי, כולל הפעולה של לא לעשות כלום, יוצרות יחד את חבורת הסימטריות שלה. כשיש רק סיבובים, יש n פעולות כאלה, והחבורה נקראת חבורה ציקלית, Cₙ. הוסיפו את המראות ויש 2n: n סיבובים ו־n שיקופים, החבורה הדיהדרלית Dₙ. פרפר הוא D₁, שבשבת היא C₄, פתית שלג הוא D₆. לתבנית שחוזרת על עצמה רק סביב נקודה אחת יש תמיד חבורה מאחד משני הסוגים האלה.
ביצוע פעולה אחת אחרי אחרת נותן תמיד עוד פעולה בחבורה. שני שיקופים במראות שנפגשות בזווית כלשהי מצטרפים יחד לסיבוב בזווית כפולה ממנה, ולכן לתבניות עם שני צירי שיקוף יש גם סימטריה סיבובית.
פתיתי שלג וגבישים
לחצו על פתית שלג במציאת הסימטריה. לפתית שלג אמיתי יש תמיד שש זרועות, כי מולקולות המים בקרח ננעלות זו בזו בתבנית משושה, והגביש גדל הכי מהר לאורך ששת הכיוונים שלו. כל זרוע גדלה כמעט באותו אוויר ובאותו רגע, ולכן הזרועות יוצאות תואמות. הסצנה מגדלת את גביש הקרח שלה בכל סדר שתבחרו, אבל רק זה שמסדר שש יכול ליפול מהשמיים.
לחצו על גביש, וגביש של מינרל עולה מהצלחת: מנסרה עם ראש מחודד, שלחתך שלה יש אותם סיבובים ואותן מראות כמו לתבנית. הפאות של גביש אמיתי עוקבות אחרי סידור האטומים שלו, שחוזר על עצמו בשורות בכל כיוון, כמו טפט תלת־ממדי.
למה רצפה לא יכולה להיות מסדר חמש
לחצו על ריצוף, והמוטיב מצויר על רצפה של אריחים. בתבניות מסדר 1, 2, 3, 4 או 6 האריחים מכסים את הרצפה וחוזרים על עצמם בלי סוף. בתבניות מסדר 5, 7 או 8 זה לא קורה. שלושה מחומשים משוכללים בפינה אחת מסתכמים ב־324° ומשאירים רווח של 36°; שלושה משובעים או מתומנים מסתכמים ביותר מ־360° וחופפים זה לזה.
זה לא כישלון של צורת האריח אלא חוק, ההגבלה הקריסטלוגרפית. נניח שלרצפה שחוזרת על עצמה יש מרכזים מסדר חמש, ונבחר שניים מהם שקרובים זה לזה ככל ששני מרכזים כאלה יכולים להיות. סיבוב של כל אחד מהם סביב השני ב־72° יוצר עוד שני מרכזים מסדר חמש, שקרובים זה לזה יותר מהזוג הראשון, וזה בלתי אפשרי. אותו תעלול פוסל כל סדר גדול מ־6. נשארים רק 1, 2, 3, 4 ו־6, ואותו כלל חל על האטומים בגביש.
ובכל זאת יש תבניות עם סימטריה מסדר חמש שלעולם לא חוזרות על עצמן. בשנות ה־1970 מצא רוג’ר פנרוז ריצופים משתי צורות שמכסים את המישור בלי לחזור על עצמם אף פעם, ובשנת 1982 מצא דן שכטמן סגסוגת שהאטומים שלה מסודרים באותו אופן, קוואזי־גביש. על כך הוא זכה בפרס נובל לכימיה לשנת 2011.
מה המודל הזה משאיר בחוץ
הצלחת מראה סימטריה סביב נקודה אחת. לרצפות שחוזרות על עצמן יכולים להיות גם שיקופים מוזזים וכמה סוגים של מרכזי סיבוב, ויחד הם נותנים בדיוק 17 סוגים של דוגמאות טפט; הרצפה כאן מראה רק שהסיבוב שנבחר מתאים. פתית השלג והגביש מוצגים בצורה אידיאלית: בפתיתי שלג אמיתיים הזרועות אף פעם לא זהות לגמרי, לגבישים אמיתיים יש צורות וזוויות משלהם, והגרסאות מסדר חמש, שבע ושמונה מצוירות רק להשוואה. הרצפות מסדר 5, 7 ו־8 מראות טבעת אחת של אריחים כדי שהרווח או החפיפה ייראו; הן לא ניסיון לרצף את הרצפה כולה.