סימטריה.

שלב 1 מתוך 8

לספור סימטריות

סימטריה של צורה היא העתקה ששומרת על מרחקים ומשאירה את הצורה בדיוק כפי שהייתה. בלוח מוטיב אחד, עלה מסולסל, חרוז ועלה קטן, מועתק בכל סיבוב ובכל מראה. סיבוב ב־$\frac{360^\circ}{n}$⁠ משאיר את הדוגמה כפי שהיא, וכך גם כל סיבוב בכפולה של הזווית הזאת, כולל סיבוב באפס, שלא עושה כלום. עם המראות, גם שיקוף בכל אחת מ־$n$⁠ המראות.

אוסף הסימטריות של צורה נקרא החבורה שלה: שתי סימטריות זו אחר זו הן שוב סימטריה. בלי מראות זו $C_n$⁠, ועם מראות $D_n$⁠. כאן הדוגמה היא פתית שלג, $D_6$⁠. ספרו את הסימטריות שלה.

שלב 2 מתוך 8

אותו גודל, צורות אחרות

גודל החבורה הוא מספר הסימטריות. ל־$C_n$⁠ יש $n$⁠, ול־$D_n$⁠ יש $2n$⁠. שנו את סדר הסיבוב ואת המראות, ומצאו דוגמה עם $8$⁠ סימטריות בדיוק. יש יותר מדרך אחת.

שלב 3 מתוך 8

הזווית בין המראות

לכוכב ים יש $5$⁠ זרועות, וקו מראה עובר לאורך כל זרוע. הסיבוב הקטן ביותר שמחזיר אותו הוא $\frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$$\frac{360^\circ}{5} =$$72^\circ$⁠. מצאו את הזווית בין שתי מראות שכנות.

שלב 4 מתוך 8

שני שיקופים

כל שיקוף הופך את הדוגמה לתמונת ראי, ובשפה של היחידה הזאת הדטרמיננטה שלו $-1$⁠. מה קורה כשמשקפים פעמיים, במראות שונות? חשבו על מה שקורה לנקודה שיושבת על המראה הראשונה.

שלב 5 מתוך 8

ריצוף

עברו בשלבים של מציאת הסימטריה: אותם כללים מופיעים בפתית שלג, בגביש ובריצוף. ריצוף חוזר על עצמו בהזזות, ורק סיבובים מסוימים מתאימים לשריג של הזזות. אם הסיבוב של אריח לא מתאים, האריחים סביבו משאירים רווחים או חופפים, והלוח מראה איפה. נבאו אילו סדרים מתאימים לריצוף.

שלב 6 מתוך 8

שמונה פעמים

כמה מסובבים, כדי שהתבנית תחזור לעצמה?

שלב 7 מתוך 8

שבשבת

יש תבניות שאפשר לסובב, אבל לא לשקף: הן מסתובבות לכיוון מסוים.

שלב 8 מתוך 8

הגדול ביותר שמרצף

ראיתם אילו סדרים מרצפים. נשאר לבדוק אם יש סדר גדול מ־$6$⁠ שמרצף.