רשת שזזה
דמיינו את רשת הריבועים של נייר משבצות, מודפסת על יריעת גומי. תפסו אותה ומשכו: הריבועים נמתחים. דחפו את הקצה העליון הצידה והחזיקו את התחתון במקום: הריבועים נוטים ונעשים קופסאות משופעות. סובבו את היריעה: הכול מסתובב יחד. לאורך כל הזמן הקווים נשארים ישרים, קווים שהיו מקבילים נשארים מקבילים, והמרווחים לאורך כל קו נשארים שווים.
פעולה עם התכונות האלה, שגם משאירה את נקודת המרכז במקומה, נקראת העתקה ליניארית. בסצנה, הרשת החרוטה בלוח הצפחה היא המישור לפני הפעולה, והמוטות הזוהרים הם אותה רשת אחריה.
לאן נוחתים שני החצים
מכיוון שקווים ישרים במרווחים שווים נשארים ישרים ובמרווחים שווים, הפעולה כולה נקבעת לפי המקום שבו נוחתים שני חצים: î, צעד אחד לאורך ציר x (ורוד), ו־ĵ, צעד אחד למעלה לאורך ציר y (כחול). כל נקודה היא “כך וכך î וכך וכך ĵ”, ולכן אחרי הפעולה היא אותו מספר של î החדש ועוד אותו מספר של ĵ החדש.
כתבו את î החדש כעמודה של שני מספרים, ואת ĵ החדש כעמודה שנייה לצידה. הטבלה הזאת, בגודל 2 × 2, היא המטריצה של הפעולה. הכרטיס שעל הלוח מציג אותה בזמן אמת: העמודה השמאלית שלה היא המקום שאליו הגיע î, והעמודה הימנית היא המקום שאליו הגיע ĵ. כפל הקואורדינטות של נקודה במטריצה פשוט מבצע את “כך וכך מכל עמודה”.
מתיחה, גזירה וסיבוב
הסצנה בונה את המטריצה שלה משלוש פעולות פשוטות, בסדר הזה:
- מתיחה מותחת את î לאורך ציר x. ערך 2 מאריך אותו פי שניים, ערך בין 0 ל־1 מקצר אותו, 0 מועך אותו לכלום, וערך שלילי הופך אותו כך שיצביע לכיוון ההפוך.
- גזירה מחליקה כל שורה של הרשת הצידה, ביחס לגובה שלה, כך ש־ĵ נוטה הצידה בזמן שהרצפה נשארת במקומה.
- סיבוב מסובב את הכול סביב המרכז.
ביצוע של פעולה אחת אחרי אחרת הוא בעצמו פעולה ליניארית אחת, והמטריצה שלה היא המכפלה של המטריצות הנפרדות. הכרטיס מציג את המכפלה הזאת כארבעה מספרים.
הדטרמיננטה: פי כמה משתנה השטח
הסתכלו על האריח הכתום שעל הלוח. הוא התמונה של ריבוע היחידה, הריבוע שבין î ל־ĵ, אחרי שהפך למקבילית. כל ריבוע אחר ברשת הופך לעותק זהה שלו, ולכן כל שטח במישור מוכפל באותו מקדם. המקדם הזה הוא הדטרמיננטה. במטריצה שהשורה העליונה שלה היא a, b והשורה התחתונה שלה היא c, d, הדטרמיננטה היא ad − bc.
סיבוב וגזירה אף פעם לא משנים שטח: הקופסאות הנוטות גדולות בדיוק כמו הריבועים שמהם הן נוצרו. לכן בסצנה הזאת הדטרמיננטה שווה בדיוק לערך המתיחה.
- גדולה מ־1: השטחים גדלים.
- בין 0 ל־1: השטחים קטנים.
- אפס: המישור נמעך אל קו אחד, ושום פעולה לא יכולה לבטל את זה, כי נקודות רבות נחתו באותו מקום.
- שלילית: המישור התהפך, כמו תמונה במראה. הגודל של המספר הוא עדיין מקדם השטח; סימן המינוס אומר שהאוריינטציה התהפכה. האות F נקראת הפוך, והסצנה הופכת את ה־F העשויה אקריליק כך שהגב הסגול שלה פונה אליכם.
נסו: הזיזו את מתיחה ל־ וראו את ה־F חוזרת כשהצד הסגול שלה למעלה, ונקראת הפוך. אחר כך קבעו אותה על והזיזו את החלת ההעתקה מ־לפני אל אחרי: הרשת מתקפלת אל קו אחד כשהדטרמיננטה מגיעה ל־0.
הזזת החלת ההעתקה מ־לפני אל אחרי מגדילה את זווית הסיבוב בהדרגה, ואת המתיחה והגזירה בקצב קבוע, כך שאפשר לראות היפוך עובר בדרכו דרך המצב המשוטח: השטח מתכווץ לאפס ויוצא שוב מהצד השני.
איפה מטריצות מופיעות
דטרמיננטות נחקרו עוד לפני מטריצות: סקי טאקאקזו ביפן וגוטפריד לייבניץ באירופה חקרו אותן בסוף המאה ה־17, כדרך לפתור כמה משוואות בבת אחת. ג’יימס ג’וזף סילבסטר טבע את המילה “מטריצה” ב־1850, וארתור קיילי מצא איך כופלים מטריצות ב־1858.
היום כרטיס גרפי כופל מטריצות כל הזמן: כל פינה של כל צורה במשחק וידאו מוזזת, מסובבת ומוטלת על המסך בעזרתן, בשלושה ממדים ועם טבלאות קצת גדולות יותר. אותו חשבון מיישר צילומים, מכוון זרועות רובוטיות אל המטרות שלהן ופועל בתוך המודלים שמזהים תמונות.
מה המודל הזה משאיר בחוץ
הלוח שטוח, ולכן הוא מראה רק מטריצות 2 × 2; במרחב צריך 3 × 3, ומחשב מוסיף שורה ועמודה רביעיות כדי שגם הזזה של צורות תוכל להיות מטריצה. העתקה ליניארית אמיתית אף פעם לא מזיזה את נקודת המרכז, ולכן הזזה נשארת כאן בחוץ. שלושת המחוונים מגיעים לכל סוג של פעולה ולכל מקדם שטח מ־−2 עד 2, אבל לא לכל מטריצה אפשרית. הרשת מצוירת רק עד קצות לוח הצפחה, אף שהמישור האמיתי נמשך עד אינסוף. הגב הסגול של ה־F הוא אמצעי חזותי: היפוך במישור לא באמת מרים את המישור מהלוח.