הדטרמיננטה.

שלב 1 מתוך 5

מקדם השטח

העתקה לינארית מעבירה את ריבוע היחידה למקבילית שצלעותיה $M\hat\imath = (a, c)$$M\hat\imath =$$(a, c)$⁠ ו־$M\hat\jmath = (b, d)$$M\hat\jmath =$$(b, d)$⁠. השטח של המקבילית הזאת הוא הערך המוחלט של המספר

$\det M = ad - bc$⁠

הדטרמיננטה של $M$⁠. ומאחר שאפשר למלא כל צורה בריבועים קטנים, וכל אחד מהם גדל באותו יחס, כל שטח במישור מוכפל ב־$|\det M|$⁠. כאן $M$⁠ בנויה מהמתיחה, הגזירה והסיבוב של המאמר. הכרטיס מראה את $\det M$⁠ כשגוררים את החלת ההעתקה; לפני ההעתקה הוא $1$⁠.

שלב 2 מתוך 5

כל צורה

ה־F אינה ריבוע, אבל גם השטח שלה מוכפל באותו מקדם. חשבו את השטח החדש שלה.

שלב 3 מתוך 5

דטרמיננטה שלילית

$\det M$⁠ יכולה להיות שלילית. הגודל שלה הוא עדיין מקדם השטח, והסימן אומר שההעתקה הפכה את המישור: מה שהלך נגד כיוון השעון הולך עכשיו עם כיוון השעון. כאן המתיחה היא $-1$⁠. נבאו מה יקרה ל־F, ואז ראו.

שלב 4 מתוך 5

דטרמיננטה אפס

כש־$\det M = 0$⁠ המקבילית שטוחה: $M\hat\imath$⁠ ו־$M\hat\jmath$⁠ על אותו קו, וכל המישור נמחץ לקו אחד או לנקודה. העתקה כזאת אי אפשר לבטל, כי נקודות רבות נוחתות על אותו מקום. מצאו הגדרה של הפקדים שמוחצת את המישור.

שלב 5 מתוך 5

מה משנה שטח

סיבוב מזיז את המישור כגוף קשיח, וגזירה מסיטה שורות בלי לשנות את גובהן. נסו כל פקד לבדו, עקבו אחרי $\det M$⁠ בכרטיס, וענו.