מטריצות שמזיזות את המישור.

שלב 1 מתוך 7

וקטורי היחידה

ביחידה על טריגונומטריה וקטור היה חץ עם רכיבים. עכשיו נזיז את כל המישור בבת אחת. העתקה לינארית של המישור שולחת כל נקודה $(x, y)$⁠ לנקודה חדשה, כך שקווים ישרים נשארים ישרים ומקבילים, והראשית נשארת במקומה. הרשת הזוהרת בלוח היא המישור; ה־F, ירוקה מלמעלה וסגולה מלמטה, היא צורה שאין לה סימטריה, כך שרואים כל היפוך.

שני חצים מספיקים כדי לתאר העתקה כזאת: $\hat\imath = (1, 0)$⁠, הוורוד, ו־$\hat\jmath = (0, 1)$⁠, הכחול. כל נקודה היא $(x, y) = x\hat\imath + y\hat\jmath$$(x, y) =$$x\hat\imath + y\hat\jmath$⁠, ולכן מספיק לדעת לאן הם הולכים. כאן ההעתקה היא סיבוב של $90^\circ$⁠. נבאו לאן יגיע $\hat\imath$⁠, ואז ראו.

שלב 2 מתוך 7

מטריצת הסיבוב

את המקומות החדשים של $\hat\imath$⁠ ו־$\hat\jmath$⁠ כותבים כעמודות של מטריצה $2 \times 2$⁠:

$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad M\hat\imath = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}, \quad M\hat\jmath = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$$M =$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \qquad M\hat\imath =$$\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}, \quad M\hat\jmath =$$\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$⁠

בסיבוב בזווית $\theta$⁠, $\hat\imath$⁠ מגיע ל־$(\cos\theta, \sin\theta)$⁠, כמו נקודה על מעגל היחידה. $\hat\jmath$⁠ מתחיל רבע סיבוב לפניו, ולכן מגיע ל־$(-\sin\theta, \cos\theta)$⁠. כאן הסיבוב הוא $30^\circ$⁠. הכרטיס בפינה מראה את $M$⁠ כשגוררים את החלת ההעתקה: לפני ההעתקה הוא מראה מטריצה שאינה מזיזה דבר.

שלב 3 מתוך 7

לאן הולכת כל נקודה

כש־$M$⁠ ידועה, כל נקודה הולכת לאותו צירוף של העמודות:

$M\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$$M\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =$$x\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} =$$\begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$⁠

כאן המתיחה $2$⁠ מותחת את $\hat\imath$⁠ ל־$(2, 0)$⁠, והגזירה $0.5$⁠ מטה את $\hat\jmath$⁠ ל־$(0.5, 1)$⁠. ריבוע היחידה, שהפינה הרחוקה שלו $(1, 1)$⁠, הופך למקבילית. חשבו לאן מגיעה הפינה הזאת.

שלב 4 מתוך 7

גזירה

גזירה מזיזה כל שורה של המישור הצידה, ככל שהיא גבוהה יותר, כמו חפיסת קלפים שדוחפים באלכסון. כאן הגזירה היא $1$⁠: $\hat\imath$⁠ נשאר, ו־$\hat\jmath$⁠ הולך ל־$(1, 1)$⁠. נבאו את השטח של המקבילית שתתקבל מריבוע היחידה.

שלב 5 מתוך 7

לבנות מטריצה

מטריצה אפשר גם לבנות לפי מה שרוצים שהיא תעשה. המתיחה, הגזירה והסיבוב קובעים את $M$⁠, והכרטיס מראה אותה. כאן הגזירה נעולה על $0$⁠; בנו העתקה ששולחת את $\hat\imath$⁠ למקום מסוים.

שלב 6 מתוך 7

$\hat\jmath$⁠ אחרי סיבוב

העמודה השנייה של $M$⁠ היא המקום שאליו מגיע החץ הכחול, $\hat\jmath$⁠.

שלב 7 מתוך 7

האלכסון

כל נקודה היא צירוף של $\hat\imath$⁠ ו־$\hat\jmath$⁠, ולכן היא מגיעה לאותו צירוף של העמודות.