המשוואות של תנועה בתאוצה קבועה.

שלב 1 מתוך 6

המקום מתוך השטח

בתאוצה קבועה גרף המהירות הוא ישר מ־$v_0$⁠ עד $v = v_0 + at$⁠. השטח שמתחתיו, עד זמן $t$⁠, הוא מלבן ועליו משולש:

• המלבן: גובה $v_0$⁠ ורוחב $t$⁠, שטח $v_0 t$⁠.
• המשולש: בסיס $t$⁠ וגובה $at$⁠, שטח $\tfrac12 \cdot t \cdot at = \tfrac12 at^2$$\tfrac12 \cdot t \cdot at =$$\tfrac12 at^2$⁠.

השטח הוא ההעתק, ולכן המקום הוא

$x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 at^2$$x =$$x_0 + v_0 t + \tfrac12 at^2$⁠

כאשר $x_0$⁠ הוא המקום ההתחלתי. בסצנה $x_0 = 0$⁠. כשהתאוצה שלילית גם המשולש שלילי, והוא מקטין את ההעתק.

שלב 2 מתוך 6

מתי היא נעצרת

ברגע המפנה המהירות אפס. לכן את הזמן שלו מוצאים מהמשוואה של המהירות, כש־$v = 0$⁠:

$0 = v_0 + at$⁠

זו משוואה ממעלה ראשונה, עם נעלם אחד: $t$⁠.

שלב 3 מתוך 6

לעצור על סימן

שתי המשוואות ביחד מאפשרות לתכנן ריצה. אם העגלה צריכה להיעצר בזמן מסוים, $v_0 + at = 0$⁠ קושר בין המהירות ההתחלתית לתאוצה. אם היא צריכה להיעצר גם במקום מסוים, $x = v_0 t + \tfrac12 at^2$$x =$$v_0 t + \tfrac12 at^2$⁠ קובע את שתיהן. חשבו קודם, ורק אז הזיזו את מהירות התחלתית ואת תאוצה.

שלב 4 מתוך 6

בלי הזמן

לפעמים הזמן לא ידוע ולא מעניין, למשל כשרוצים לדעת כמה מטרים מכונית צריכה כדי לעצור. מבודדים את $t$⁠ מהמשוואה של המהירות ומציבים אותו במשוואה של המקום, ונשארת משוואה בלי זמן:

$v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$$v^2 =$$v_0^2 + 2a\,\Delta x$⁠

כשהגוף נעצר, $v = 0$⁠, ומרחק העצירה הוא $\Delta x = \dfrac{v_0^2}{2|a|}$$\Delta x =$$\dfrac{v_0^2}{2|a|}$⁠. בריצה שעל המסך, 0.6 m/s ו־−0.3 m/s², זה $\dfrac{0.36}{0.6} = 0.6$$\dfrac{0.36}{0.6} =$$0.6$⁠ מטר: בדיוק השיא של הקשת.

שלב 5 מתוך 6

מהירות כפולה

עכשיו העגלה חוצה את קו ההתחלה ב־0.3 m/s, והמאוורר דוחף אחורה ב־−0.3 m/s². היא נעצרת אחרי שנייה אחת, 0.15 m מקו ההתחלה. בעוד רגע היא תצא במהירות כפולה, עם אותה דחיפה. נבאו כמה רחוק היא תגיע לפני שתיעצר.

שלב 6 מתוך 6

לסיכום

בתנועה בתאוצה קבועה $a$⁠, ממקום $x_0$⁠ ובמהירות התחלתית $v_0$⁠:

$v = v_0 + at \qquad x = x_0 + v_0 t + \tfrac12 at^2 \qquad v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x$$v =$$v_0 + at \qquad x =$$x_0 + v_0 t + \tfrac12 at^2 \qquad v^2 =$$v_0^2 + 2a\,\Delta x$⁠

• בוחרים את המשוואה לפי מה שידוע ומה שמחפשים: בלי הזמן, המשוואה השלישית.
• ברגע המפנה $v = 0$⁠, ומרחק העצירה הוא $\dfrac{v_0^2}{2|a|}$⁠: מהירות כפולה, מרחק פי ארבעה.
• ביחידה על תנועה בליסטית אותן משוואות מתארות את התנועה האנכית של כדור, עם תאוצת הנפילה $g$⁠.