גרפי תנועה.

נסיעה אחת, שלוש שאלות

גלגלו עגלה לאורך מסילה, ותוכלו לשאול עליה שלושה דברים בכל רגע. איפה היא? כמה מהר היא נוסעת, ולאיזה כיוון? האם היא מאיצה או מאטה? לכל שאלה יש גרף משלה, שמשורטט כנגד הזמן: מקום, מהירות ותאוצה.

בסצנה, עגלה חוצה את קו ההתחלה במהירות שתבחרו, ומאוורר שעל גבה ממשיך לדחוף אותה בכוח קבוע, קדימה או אחורה. חיישן תנועה בקצה הקרוב של המסילה מודד, פעמים רבות בכל שנייה, כמה זמן לוקח להדים של אולטרה סאונד לחזור מגב העגלה, ומתרגם את הזמן הזה למרחק שלה. כך משרטטים את הגרפים האלה במעבדות של בתי ספר, והגרף שליד הסצנה משרטט את מקום העגלה תוך כדי הריצה. סימנים כתומים נופלים על המסילה כל חצי שנייה, כמו בתצלום שצולם לאור מהבהב: איפה שהם מתרחקים זה מזה העגלה נעה מהר, ואיפה שהם מצטופפים היא נעה לאט.

נסו: קבעו את מהירות התחלתית על 0.6 m/s ואת תאוצה על −0.3 m/s². העגלה יוצאת לדרך הרחק מהחיישן, מאטה, נעצרת לרגע אחרי שתי שניות, ומתגלגלת בחזרה אל קו ההתחלה בדיוק כשארבע השניות נגמרות. גרף המקום הוא קשת.

חזרה לניסוי ↑

מקום כנגד זמן

בגרף מקום–זמן, הגובה הוא המקום של העגלה, כפי שהוא נמדד מקו ההתחלה, והציר האופקי הוא הזמן. עגלה שעומדת במקום משרטטת קו אופקי. עגלה שנעה במהירות קבועה עוברת אותו מרחק בכל שנייה, ולכן המקום שלה עולה (או יורד) באותו צעד בכל שנייה: קו ישר ומשופע. ככל שהקו תלול יותר, העגלה מהירה יותר.

עגלה שמאיצה עוברת בכל שנייה מרחק גדול יותר מבשנייה הקודמת, ולכן הקו שלה מתעקל ונעשה תלול יותר ויותר. עגלה שמאטה מתעקלת לכיוון השני, והקו שלה הולך ונעשה אופקי. איפה שהעקומה מגיעה לשיא ומתחילה לרדת, העגלה נעצרה לרגע והתחילה לחזור.

הגרף אינו ציור של המסלול. המסילה ישרה והעגלה נעה רק לאורכה, ובכל זאת הגרף מתעקל. העקומה היא הסיפור של מקום העגלה לאורך הזמן.

נסו: קבעו את מהירות התחלתית ואת תאוצה שתיהן על 0. העגלה נשארת על קו ההתחלה והגרף אופקי. אחר כך נסו מהירות התחלתית של 0.6 m/s בלי תאוצה: קו ישר, שעולה 0.6 מטר בכל שנייה.

חזרה לניסוי ↑

המהירות היא השיפוע

כמה מהר המקום משתנה, זו המהירות. בגרף המקום זה השיפוע: בכמה הקו עולה על כל שנייה של התקדמות. למהירות יש סימן. מהירות חיובית פירושה שהעגלה מתרחקת מהחיישן, ומהירות שלילית פירושה שהיא חוזרת אליו. גודל המהירות הוא המהירות בלי הסימן שלה.

לגרף מקום מעוקל יש שיפוע אחר בכל רגע. השיפוע ברגע אחד הוא השיפוע של המשיק, הקו הישר שרק נוגע בעקומה באותה נקודה. בראש הקשת המשיק אופקי: השיפוע אפס, וכך גם המהירות.

נסו: העבירו את בניית הגרפים אל שלושת הגרפים. גרפי המהירות והתאוצה מתמלאים מתחת לגרף המקום, על אותו ציר זמן. משיק מקווקו נע לאורך עקומת המקום, והשיפוע שלו הוא הערך שגרף המהירות משרטט באותו רגע.

חזרה לניסוי ↑

התאוצה היא השיפוע של המהירות

כמה מהר המהירות משתנה, זו התאוצה, והיא השיפוע של גרף המהירות. הדחיפה הקבועה של המאוורר נותנת לעגלה תאוצה קבועה, ולכן גרף המהירות הוא קו ישר וגרף התאוצה הוא קו אופקי.

תאוצה שלילית לא תמיד פירושה האטה. כשהעגלה מתגלגלת קדימה ב־0.6 m/s והמאוורר דוחף אחורה, התאוצה היא −0.3 m/s² כל הזמן. בשתי השניות הראשונות המהירות חיובית והולכת וקטנה, ולכן העגלה מאטה. אחרי שהיא משנה כיוון, המהירות שלילית וגודלה הולך וגדל, ולכן העגלה מאיצה, אחורה. העגלה מאטה כשלמהירות ולתאוצה יש סימנים הפוכים, ומאיצה כשיש להן אותו סימן.

השטח מתחת לגרף המהירות

אם עגלה נעה ב־0.5 m/s במשך 2 שניות, היא עוברת מטר אחד. בגרף המהירות התנועה הזאת היא מלבן בגובה 0.5 וברוחב 2, והשטח שלו, 0.5 × 2, הוא אותו מטר אחד. אותו דבר נכון לכל צורה: השטח שבין גרף המהירות לציר הזמן הוא השינוי במקום, ההעתק.

שטח מעל הציר נספר קדימה, ושטח מתחת לציר נספר אחורה. בריצת ברירת המחדל, המשולש שמעל הציר (הנסיעה הלוך) והמשולש שמתחתיו (הנסיעה חזור) שווים בגודלם, ולכן הם מבטלים זה את זה: אחרי ארבע שניות העגלה חוזרת למקום שבו התחילה, וההעתק שלה אפס, אף על פי שעברה 1.2 מטר. הסכום הזה, שסופר את שני הכיוונים, הוא הדרך שעברה העגלה.

נסו: העבירו את בניית הגרפים אל השטח מתחת לגרף המהירות. השטח מתמלא בזמן שהעגלה נעה, הסכום שלו מודפס מתחת לגרפים, וחץ על המסילה נמתח מקו ההתחלה לאורך אותו העתק.

חזרה לניסוי ↑

המשוואות של תנועה שוות תאוצה

לעגלה שמתחילה במהירות $u$⁠ ונעה בתאוצה קבועה $a$⁠, הגרפים נותנים שלוש משוואות. גרף המהירות הוא קו ישר שמתחיל ב־$u$⁠ ושיפועו $a$⁠:

$v = u + at$⁠

השטח שמתחתיו, מלבן $u \times t$⁠ ועוד משולש $\tfrac{1}{2} \times t \times at$⁠, הוא ההעתק:

$x = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$x =$$ut + \tfrac{1}{2}at^2$⁠

סילוק $t$⁠ משתי המשוואות נותן משוואה שלישית, שימושית כשהזמן לא ידוע:

$v^2 = u^2 + 2ax$⁠

עם u = 0.6 m/s ו־a = −0.3 m/s², המשוואה הראשונה אומרת שהעגלה נעצרת כש־t = 2 s, והשנייה מציבה אותה באותו רגע במרחק 0.6 m מקו ההתחלה. השלישית נותנת את אותם 0.6 m בלי הזמן: $0 = 0.36 - 0.6x$⁠.

מה המודל הזה משאיר בחוץ

הדחיפה של עגלת מאוורר אמיתית מתנודדת כשהמנוע מתחמם והסוללה מתרוקנת, והגלגלים והאוויר מאטים אותה מעט, ולכן גרף מהירות אמיתי אף פעם אינו ישר לגמרי. הסצנה שומרת על דחיפה קבועה בדיוק, ומשאירה בחוץ את החיכוך ואת הגרר. העגלה חוצה את קו ההתחלה כשהיא כבר בתנועה; הדחיפה שהניעה אותה לא מוצגת.

הסצנה מחשבת את מקום העגלה מהמשוואות ולא מודדת אותו, ולכן הגרפים שלה חלקים. חיישן תנועה אמיתי קורא את המקום כמה עשרות פעמים בשנייה, וכל קריאה סוטה מעט; תוכנה מחשבת את המהירות ואת התאוצה מההפרשים בין הקריאות, ולכן הן רועשות, והתאוצה יותר מכולן. המעצורים בקצות המסילה עוצרים את העגלה ומסיימים את הריצה מיד, בלי ההקפצה שפגוש אמיתי היה גורם לה.