מספרים מרוכבים.

מספר שהוא נקודה

מספרים רגילים יושבים לאורך קו: השליליים משמאל, החיוביים מימין. למספר מרוכב כמו $3 + 2i$⁠ יש שני חלקים, חלק ממשי ($3$⁠) וחלק מדומה ($2$⁠), ולכן הוא צריך שני כיוונים. שימו את החלק הממשי לרוחב ואת החלק המדומה לגובה, וכל מספר מרוכב הופך לנקודה במישור שטוח, המישור המרוכב. הלוח בתצוגה הוא המישור הזה; הציר הממשי שלו מסומן Re, והציר המדומה Im.

הסימן i מייצג מספר שהריבוע שלו הוא $-1$⁠. אף מספר על הקו הרגיל לא עושה זאת, כי כל מספר כפול עצמו הוא חיובי או אפס. ג’ירולמו קרדאנו נתקל בשורשים ריבועיים של מספרים שליליים ב־1545, כשפתר משוואות ממעלה שלישית, ורפאל בומבלי מצא ב־1572 איך לחשב איתם. קספר וסל ב־1799 וז’אן־רובר ארגאן ב־1806 ציירו אותם, כל אחד בנפרד, כנקודות במישור, וזה מה שנתן להם משמעות.

כפל מסובב ומותח

כפלו את $1$⁠ ב־$i$⁠ ותקבלו $i$⁠: הנקודה עברה מהקצה הימני של הציר הממשי לראש הציר המדומה, רבע סיבוב. כפלו שוב ב־$i$⁠ ותקבלו $i \times i = -1$⁠, עוד רבע סיבוב. אחר כך $-i$⁠, ואז בחזרה ל־$1$⁠. ארבעה צעדים, סיבוב שלם אחד.

זה לא מיוחד ל־$i$⁠. לכל מספר מרוכב $w$⁠ יש אורך, המרחק שלו מ־$0$⁠, וזווית, שנמדדת מהכיוון החיובי של הציר הממשי. כפל של נקודה כלשהי ב־$w$⁠ עושה שני דברים בבת אחת:

• הוא מסובב את הנקודה בזווית של $w$⁠, וגם
• הוא מותח את המרחק שלה מ־$0$⁠ פי האורך של $w$⁠.

לכן בכפל האורכים נכפלים והזוויות מתחברות. התצוגה מתחילה ב־$1$⁠ וכופלת שוב ושוב באותו $w$⁠. כל מכפלה היא חרוז, עם חץ מהמרכז ורמפה זוהרת סביב עמוד הפליז שמראה את הסיבוב של כל צעד. כדי להבחין בין המכפלות, התצוגה מרימה כל חרוז מדרגה אחת מעל הקודם, וכך כפל חוזר מטפס במדרגות לוליניות. גררו את מספר הצעדים עד $0$⁠ ובחזרה למעלה כדי להוסיף את המכפלות כפל אחר כפל.

נסו: לחצו על × i בסיבוב בכל צעד וקבעו את המתיחה בכל צעד על 1: החרוזים חוזרים אל מעל נקודת ההתחלה כל ארבעה צעדים ונערמים לסליל. אחר כך לחצו על × −1 וצפו איך כל צעד הופך את הנקודה לצד השני של המרכז.

חזרה לניסוי ↑

כשהמתיחה גדולה מ־$1$⁠, כל צעד דוחף את הנקודה החוצה והמדרגות מתרחבות; כשהיא קטנה מ־$1$⁠, המדרגות מתפתלות פנימה לעבר $0$⁠. כשהיא בדיוק $1$⁠, הנקודה אף פעם לא עוזבת את מעגל היחידה, המעגל שרדיוסו $1$⁠.

הספירלה החלקה ונוסחת אוילר

הזיזו את בניית נוסחת אוילר אל נוסחת אוילר. קודם התצוגה מסמנת את הצעד האחרון בסיבוב ובמתיחה שלו. אחר כך צומחת עקומה חלקה שעוברת דרך כל החרוזים. כפל חוזר ב־$w$⁠ נותן את $w^n$⁠ לכל מספר שלם $n$⁠, והעקומה ממלאת את מה שבין הצעדים: היא $w$⁠ בחזקת $t$⁠ לכל $t$⁠, אותה ספירלה מצוירת בלי רווחים. כמות גדלה שנכפלת באותו גורם בכל צעד שווה היא בדיוק מה שפונקציה מעריכית מתארת, ולכן העקומה הזאת היא פונקציה מעריכית, כפי שהיא נראית במישור המרוכב.

לבסוף מופיע מעגל היחידה ועליו נקודה אחת, בזווית הסיבוב $\varphi$⁠. הצל שלה על הציר הממשי הוא $\cos\varphi$⁠, והגובה שלה הוא $\sin\varphi$⁠, כמו בטריגונומטריה. לאונרד אוילר פרסם ב־1748 את הנוסחה שמחברת בין שני הרעיונות:

$e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi$$e^{i\varphi} =$$\cos\varphi + i\sin\varphi$⁠

העלאה של המספר $e$⁠ (בערך $2.718$⁠) בחזקה מדומה לא מגדילה שום דבר. היא מסובבת. כש־$\varphi$⁠ נמדדת ברדיאנים, חצי סיבוב הוא $\varphi = \pi$⁠, והנוסחה נותנת $e^{i\pi} = -1$⁠, שנכתב לעיתים קרובות $e^{i\pi} + 1 = 0$⁠. לחצו על × −1 כשבניית נוסחת אוילר על נוסחת אוילר כדי לראות אותה מודפסת על הכרטיס.

איפה פוגשים מספרים מרוכבים

כל דבר שמסתובב או חוזר על עצמו פשוט יותר עם מספרים מרוכבים. מהנדסי חשמל מתארים זרם חילופין כמספר מרוכב מסתובב, וכך העיכובים שגורמים סלילים וקבלים הופכים לכפל פשוט. עיבוד אותות מפרק צלילים ותמונות לרכיבים מסתובבים, וכך דוחסים מוזיקה, וכך טלפון מפריד אות רדיו אחד מאחר. מכניקת הקוונטים מתארת חלקיקים בעזרת גלים שהערכים שלהם מרוכבים.

מה המודל הזה משמיט

הגבהים של החרוזים הם רק מספרי הצעדים, שנוספו לשם הבהירות; הם אינם חלק מהמספרים המרוכבים. התצוגה מראה לכל היותר שנים־עשר צעדים, ושומרת על המתיחה בין $0.92$⁠ ל־$1.08$⁠ כדי שהספירלה תישאר על הלוח; במתיחות רחוקות יותר מ־$1$⁠ הנקודות בורחות החוצה או קורסות אל $0$⁠ בתוך צעדים ספורים. הסיבובים הם במעלות שלמות מ־$0^\circ$⁠ עד $180^\circ$⁠, ולכן סיבוב לכיוון השני (זווית שלילית) נשאר בחוץ, אף שהוא עובד באותה דרך, כתמונת ראי.