סיבובים, מתיחות ונוסחת אוילר.

שלב 1 מתוך 5

זוויות מתחברות

כשכופלים שני מספרים מרוכבים, האורכים נכפלים והזוויות מתחברות:

$r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha) \cdot r_2(\cos\beta + i\sin\beta) = r_1 r_2\left(\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)\right)$$r_1(\cos\alpha + i\sin\alpha) \cdot r_2(\cos\beta + i\sin\beta) =$$r_1 r_2\left(\cos(\alpha + \beta) + i\sin(\alpha + \beta)\right)$⁠

זה נובע מהנוסחאות לסינוס ולקוסינוס של סכום זוויות. לכן כפל ב־$w$⁠ הוא סיבוב בזווית של $w$⁠ ומתיחה באורך שלו, כמו ההעתקות ביחידה הקודמת. כאן הסיבוב בכל צעד הוא $40^\circ$⁠. נבאו את הזווית אחרי חמישה צעדים.

שלב 2 מתוך 5

אורכים נכפלים

המתיחה בכל צעד היא $1.08$⁠: כל כפל מאריך את הנקודה ב־$8\%$⁠, כמו ריבית מהיחידה על חזקות. האורך אחרי $n$⁠ צעדים הוא $1.08^n$⁠, והנקודות מטפסות בספירלה שמתרחבת. מצאו כמה צעדים מכפילים את האורך.

שלב 3 מתוך 5

הכלל

גררו את בניית נוסחת אוילר מעט: הלוח מסמן את הסיבוב והמתיחה של הצעד האחרון. אחר כך השתמשו בכלל כדי לכפול שני מספרים שנתונים באורך ובזווית.

שלב 4 מתוך 5

ספירלה פנימה

כשהמתיחה בכל צעד קטנה מ־$1$⁠, הנקודות מתקרבות לאפס בספירלה. הקו הזוהר שעובר דרך כל הנקודות הוא $w^t$⁠ גם בין הצעדים השלמים. מספר הצעדים נעול על $12$⁠; כוונו את שני הפקדים האחרים כך שהנקודה האחרונה תגיע למקום מסוים.

שלב 5 מתוך 5

נוסחת אוילר

הקו החלק $w^t$⁠ הוא חזקה עם מעריך ממשי, וכשאורכו של $w$⁠ הוא $1$⁠ הוא רץ על מעגל היחידה. לאונרד אוילר מצא שזו בדיוק הפונקציה המעריכית, עם מעריך מדומה, כשהזווית נמדדת ברדיאנים:

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$e^{i\theta} =$$\cos\theta + i\sin\theta$⁠

$e^{i\theta}$⁠ הוא הנקודה על מעגל היחידה בזווית $\theta$⁠. כאן הסיבוב בכל צעד הוא $180^\circ$⁠, $\pi$⁠ רדיאנים. נבאו את $e^{i\pi}$⁠, ואז ראו: הלוח יגרור את בניית נוסחת אוילר עד הסוף.