כפל ב־i.

שלב 1 מתוך 6

הריבוע של i

לאף מספר ממשי אין ריבוע שלילי: $2^2 = 4$⁠ וגם $(-2)^2 = 4$⁠. המתמטיקאים הוסיפו מספר חדש, $i$⁠, שמוגדר כך ש־$i^2 = -1$⁠, ומצאו שהוא לא סותר דבר. מספר מרוכב הוא $a + bi$⁠, עם $a$⁠ ו־$b$⁠ ממשיים: $a$⁠ הוא החלק הממשי ו־$b$⁠ החלק המדומה. כל מספר כזה הוא נקודה במישור, $a$⁠ לרוחב ו־$b$⁠ לגובה, כמו וקטור $(a, b)$⁠. זה המישור המרוכב.

בלוח הנקודה מתחילה ב־$1$⁠, וכל צעד כופל אותה במספר $w$⁠. כאן $w = i$⁠: הסיבוב בכל צעד הוא $90^\circ$⁠ והמתיחה בכל צעד $1$⁠. כל נקודה מורמת מעל הלוח לפי מספר הצעד, כך שהמכפלות מטפסות במדרגות לולייניות. נבאו לאן תגיע הנקודה אחרי שני צעדים.

שלב 2 מתוך 6

החזקות של i

כפל ב־$i$⁠ מסובב כל מספר ברבע סיבוב: $1 \cdot i = i$⁠, $i \cdot i = -1$⁠, $-1 \cdot i = -i$⁠, $-i \cdot i = 1$⁠. החזקות של $i$⁠ חוזרות כל ארבע. הזיזו את מספר הצעדים ועקבו אחרי הכרטיס, שמראה את המכפלה האחרונה.

שלב 3 מתוך 6

אורך וזווית

כמו וקטור, מספר מרוכב אפשר לתאר גם באורך $r$⁠ ובזווית $\varphi$⁠ מהציר הממשי:

$w = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$$w =$$r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$⁠

כאן $w$⁠ מסובב ב־$30^\circ$⁠ ואורכו $1$⁠, ומספר הצעדים נעול על $0$⁠: הלוח מראה רק את נקודת ההתחלה, $1$⁠, ואת $w$⁠ בכרטיס כסיבוב ומתיחה. כתבו את $w$⁠ בצורה $a + bi$⁠.

שלב 4 מתוך 6

שורשים של מינוס 1

אם כפל אחד ב־$w$⁠ מסובב ב־$\varphi$⁠, אז $w^3$⁠ מסובב ב־$3\varphi$⁠. מצאו את הסיבוב בכל צעד ששלושה צעדים שלו מביאים את $1$⁠ ל־$-1$⁠.

שלב 5 מתוך 6

ריבוע

כדי לכפול $(a + bi)(c + di)$⁠ פותחים סוגריים כמו בביטויים אלגבריים, וזוכרים ש־$i^2 = -1$⁠:

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$(a + bi)(c + di) =$$(ac - bd) + (ad + bc)i$⁠

בחרו את התשובה, ואז בדקו בלוח בעזרת מספר הצעדים.

שלב 6 מתוך 6

החלק המדומה

גם מספר שאורכו לא $1$⁠ אפשר לכתוב באורך ובזווית. החלק הממשי הוא כמה הוא ימינה, והמדומה כמה הוא למעלה.