כדור אחד, אין לדעת
הפילו כדור אחד לתוך הלוח. ביתד הראשונה הוא קופץ שמאלה או ימינה, ושום דבר שאפשר לראות לא קובע לאיזה צד. ביתד הבאה הוא בוחר שוב, ושוב בכל שורה, כך שאין לדעת איפה הוא ינחת. אבל המשיכו לשפוך, וצורה מופיעה: ערימה גבוהה באמצע שיורדת לשני הצדדים. הריצו את הלוח שוב ואותה צורה חוזרת, אף שכל כדור הגיע למקום אחר.
המכשיר נקרא לוח גלטון (או תיבת גלטון), על שם פרנסיס גלטון, שבנה לוח כזה בשנות ה־70 של המאה ה־19 כדי להראות איך המקרה יוצר דפוסים סדירים. הוא קרא לו קווינקונקס (quincunx), על שם תבנית חמש הנקודות שהיתדות שלה חוזרות עליה.
סופרים מסלולים
התא האמצעי מנצח כי יותר מסלולים מובילים אליו. כדור שקופץ ימינה k פעמים ושמאלה בשאר השורות נוחת בתא k, לא משנה באיזה סדר באו הקפיצות. בשתים־עשרה שורות יש בדיוק מסלול אחד לתא השמאלי ביותר, שמאלה בכל השורות, ואחד לתא הימני ביותר. לתא האמצעי מובילים 924 מסלולים שונים. מתוך 4,096 מסלולים שווי סיכוי, התא האמצעי סביר פי 924 מכל אחד מהקצוות.
המספרים האלה הם המספרים שבמשולש פסקל, והדפוס שהם יוצרים הוא ההתפלגות הבינומית: הסיכוי ל־k הצלחות ב־n ניסיונות, כשכל ניסיון מצליח באותה הסתברות.
נסו: קבעו את שורות של יתדות על 4 וצפו איך רק חמישה תאים מתמלאים, בערך ביחס 1 : 4 : 6 : 4 : 1. אחר כך העלו אותן ל־16, וקבעו את סיכוי לקפוץ ימינה על 75 % כדי שכל יתד תעדיף את הצד הימני.
הפעמון מופיע
כשיש יותר שורות, מדרגות העמודות מתעגלות לעקומה חלקה, ההתפלגות הנורמלית, הפעמון המפורסם. אברהם דה מואבר הראה בשנת 1733 שההתפלגות הבינומית מתקרבת לעקומה הזאת ככל שמספר הניסיונות גדל. בחרו פועל תחת הצגת עקומת הפעמון כדי לראות אותה, משורטטת לפי מספר הכדורים שנחתו עד עכשיו.
כשהיתדות נוטות, הגבנון זז, אבל צורתו כמעט לא משתנה. המרכז שלו נמצא במכפלה שורות × סיכוי, והפיזור שלו הוא השורש הריבועי של שורות × סיכוי × (1 − סיכוי). בלוח הוגן של שתים־עשרה שורות הפיזור הוא כ־1.7 תאים, ובערך שישה כדורים מכל עשרה נוחתים בשלושת התאים האמצעיים.
למה העולם מלא פעמונים
הפעמון מופיע הרבה מעבר ללוחות יתדות. בכל פעם שתוצאה היא סכום של הרבה דחיפות קטנות ובלתי תלויות, היא נוטה לעקומה הזאת, יהיו הדחיפות עצמן אשר יהיו. זהו משפט הגבול המרכזי, ובגללו שגיאות מדידה והסכום של הרבה קוביות יוצאים בצורת פעמון.
כלל שני פועל כשהערימה גדלה. בהתחלה העמודות משוננות וסוטות מהעקומה; אחרי מאות כדורים הן צמודות אליה. החלק של הכדורים שנוחתים בכל תא מתקרב להסתברות האמיתית שלו ככל שהניסיונות מצטברים: זהו חוק המספרים הגדולים, שהוכיח יאקוב ברנולי ושפורסם בשנת 1713. המקרה לא מאזן את עצמו; רצף של קפיצות שמאלה אף פעם לא מתבטל, הוא רק טובע בכל מה שבא אחריו.
מה המודל הזה משאיר בחוץ
כדורים אמיתיים הם לא הטלות מטבע מושלמות. הם מסתובבים, נושאים מהירות צידית מיתד אחת לבאה ומתנגשים זה בזה, ולכן הערימה בלוח אמיתי יכולה להיות שונה מהתחזית הבינומית. כאן כל קפיצה היא בחירה בלתי תלויה, בדיוק בסיכוי שקבעתם, והדילוגים בין היתדות מצוירים כדי שיהיה ברור, ולא מחושבים. גודל הכדורים נבחר כך שהערימה הגבוהה ביותר שסביר שתיווצר תיכנס מתחת ליתדות. עקומת הפעמון היא רק קירוב להתפלגות הבינומית: קירוב טוב כשיש הרבה שורות, וגס כשיש מעט.