ההתפלגות הנורמלית.

שלב 1 מתוך 5

היסטוגרמה

כשיש הרבה מדידות, קשה להסתכל על כל אחת. היסטוגרמה מחלקת את הערכים לתאים שווים ברוחבם, ומעל כל תא עמודה שגובהה הוא מספר הערכים שנפלו בו. כך רואים במבט אחד איפה רוב הנתונים, כמה הם מתפזרים, והאם יש להם זנב לצד אחד.

לוח גלטון בונה היסטוגרמה בעצמו: כל כדור קופץ $10$⁠ פעמים, וכאן רק ב־$25\%$⁠ מהפעמים ימינה. מספר התא הוא מספר הקפיצות ימינה. העמודות הכתומות הן הכמות הצפויה בכל תא, והעקומה התכולה היא עקומת הפעמון שמקרבת אותן.

ההיסטוגרמה נוטה שמאלה, עם זנב ארוך יותר ימינה. מצאו בה את השכיח.

שלב 2 מתוך 5

רוחב הפעמון

בפרק על הסתברות ראינו שהממוצע של הלוח הוא $n \cdot p$⁠: מספר השורות כפול הסיכוי לקפוץ ימינה. גם לסטיית התקן יש נוסחה:

$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$$\sigma =$$\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$⁠

בלוח הוגן, $p = 0.5$⁠, זה $\sqrt{\frac{n}{4}}$⁠. האות היוונית $\sigma$⁠ (סיגמה) היא סטיית התקן של התפלגות שלמה, כמו ש־$\mu$⁠ (מיו) הוא הממוצע שלה.

עכשיו יש $8$⁠ שורות. שנו את מספר השורות.

שלב 3 מתוך 5

סטיית תקן אחת

עם הרבה שורות, ההיסטוגרמה כמעט זהה לעקומת הפעמון החלקה. עקומה כזאת נקראת התפלגות נורמלית, והיא מופיעה בכל מקום שבו הרבה השפעות קטנות ובלתי תלויות מצטברות: גובה של אנשים, שגיאות מדידה, משקל של פירות. לכל התפלגות נורמלית אותה צורה, ורק $\mu$⁠ ו־$\sigma$⁠ משתנים: היכן המרכז וכמה רחבה.

לכן אפשר לשאול שאלה אחת על כולן. כאן $\mu = 8$⁠ ו־$\sigma = 2$⁠.

שלב 4 מתוך 5

שתי סטיות תקן

בערך $68\%$⁠ בטווח של סטיית תקן אחת: כשני שלישים. ומה אם מרחיבים את הטווח לשתי סטיות תקן לכל צד?

שלב 5 מתוך 5

נתונים אמיתיים

אלה שלושת המספרים של כלל $68$⁠–$95$⁠–$99.7$⁠: בהתפלגות נורמלית, בערך $68\%$⁠ מהנתונים בטווח $\mu \pm \sigma$⁠, $95\%$⁠ בטווח $\mu \pm 2\sigma$⁠, ו־$99.7\%$⁠ בטווח $\mu \pm 3\sigma$⁠. ערך שרחוק יותר משלוש סטיות תקן הוא נדיר מאוד.

הכלל עובד לכל התפלגות נורמלית, ולכן מספיק לדעת את הממוצע ואת סטיית התקן כדי לדעת הרבה. נסו על גובה של אנשים.