עקומת הפעמון.

שלב 1 מתוך 5

כל יתד היא הטלת מטבע

כדורים נופלים מהמשפך דרך משולש של יתדות. בכל יתד הכדור קופץ שמאלה או ימינה, חצי־חצי, כמו הטלת מטבע. בתחתית הוא נוחת בתא, והתא נקבע לפי מספר הפעמים שהכדור קפץ ימינה: התא השמאלי ביותר הוא אפס פעמים ימינה, הימני ביותר הוא ימינה בכל שורה.

כאן יש $4$⁠ שורות של יתדות, ולכן $5$⁠ תאים. כל כדור הוא ארבע הטלות מטבע ברצף, בדיוק כמו העץ מהשיעור הקודם.

שלב 2 מתוך 5

התא האמצעי

לתאים בקצוות מוביל מסלול אחד בלבד: ימינה בכל השורות, או שמאלה בכל השורות. לתא האמצעי, שניים ימינה ושניים שמאלה, מובילים הרבה מסלולים, כי הסדר יכול להשתנות: ימין־ימין־שמאל־שמאל, ימין־שמאל־ימין־שמאל, וכן הלאה.

כל המסלולים שווי סיכוי, ולכן הסיכוי של תא הוא מספר המסלולים אליו מתוך כל המסלולים. מבט פנימה עומד על עקומת פעמון: הקו הכתום מראה כמה כדורים צפויים בכל תא.

שלב 3 מתוך 5

הקצוות

עכשיו יש $12$⁠ שורות ו־$13$⁠ תאים. כדי להגיע לתא הימני ביותר, הכדור צריך לקפוץ ימינה בכל אחת מ־$12$⁠ השורות. נבאו כמה זה סביר.

שלב 4 מתוך 5

יתדות לא הוגנות

סיכוי לקפוץ ימינה קובע את הסיכוי בכל יתד. בממוצע, כדור קופץ ימינה בחלק הזה מהשורות. אם יש $n$⁠ שורות והסיכוי לקפוץ ימינה הוא $p$⁠ (כשבר), מרכז הגבנון נמצא בתא

$n \times p$⁠

זה נקרא התוחלת: מספר הפעמים ימינה שצפוי בממוצע. עם יתדות הוגנות ו־$12$⁠ שורות זה $12 \times 0.5 = 6$⁠, התא האמצעי. שנו את סיכוי לקפוץ ימינה כך שמרכז הגבנון יהיה בתא $9$⁠.

שלב 5 מתוך 5

הממוצע הוא לא הכלל

גררו את שורות של יתדות עד $16$⁠ והסתכלו: ככל שיש יותר שורות, העמודות משרטטות עקומת פעמון חלקה יותר, עקומה שנקראת התפלגות נורמלית. היא מופיעה בכל מקום שבו הרבה השפעות קטנות ובלתי תלויות מצטברות: גובה של אנשים, טעויות מדידה, תוצאות של הרבה הטלות.

עכשיו $10$⁠ שורות: עשר הטלות מטבע. התוצאה הממוצעת היא חמש פעמים ימינה, בתא האמצעי. אבל כמה פעמים באמת יוצא בדיוק $5$⁠ מתוך $10$⁠?