טריגונומטריה ומעגל היחידה.

נקודה על גלגל

סמנו חרוז על השפה של גלגל שהרדיוס שלו $1$⁠, וסובבו את הגלגל. מדדו את הסיבוב כזווית $\theta$⁠ (תטא): מתחילים מהמקום של החרוז בצד ימין וסופרים נגד כיוון השעון. כש־$\theta$⁠ גדלה, משתנים גם הגובה של החרוז מעל המרכז וגם המרחק שלו ימינה מהמרכז.

לשני המספרים האלה יש שמות. הגובה הוא הסינוס של הזווית, ונכתב $\sin\theta$⁠. המרחק לצד הוא הקוסינוס, $\cos\theta$⁠. בתצוגה הגובה הוא המוט הכחול והרוחב הוא המוט הוורוד. מכיוון שהרדיוס הוא $1$⁠, החרוז נמצא בנקודה $(\cos\theta, \sin\theta)$⁠.

משולש ישר זווית בתוך המעגל

שני המוטות והחישור יוצרים משולש ישר זווית. החישור הוא הצלע הארוכה ביותר שלו, היתר, והאורך שלו תמיד $1$⁠. לכן הסינוס והקוסינוס הם גם שתי הצלעות הקצרות, הניצבים, של משולש ישר זווית שהיתר שלו $1$⁠, וכך פוגשים אותם לראשונה בבית הספר: בכל משולש ישר זווית, הסינוס של זווית הוא הניצב שמולה חלקי היתר, והקוסינוס הוא הניצב שלידה חלקי היתר. הגדלה של המשולש לא משנה את היחסים האלה.

משפט פיתגורס חל על המשולש הזה בכל זווית, וממנו נובעת הזהות השימושית ביותר בטריגונומטריה: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$\sin^2\theta + \cos^2\theta =$$1$⁠.

לכמה זוויות יש ערכים מדויקים שכדאי לזכור. ב־30° הגובה הוא בדיוק חצי. ב־60° דווקא הרוחב הוא חצי. ב־45° השניים שווים, שניהם $\sqrt{2}/2$⁠, בערך $0.707$⁠.

סימנים וסיבובים

אחרי 90° החרוז עובר לשמאל המרכז, ולכן הרוחב שלו נעשה שלילי: הקוסינוס שלילי בזוויות שבין 90° ל־270°. מתחת למרכז הגובה שלילי: הסינוס שלילי בין 180° ל־360°. ב־360° החרוז חוזר לנקודת ההתחלה, וכל הערכים חוזרים על עצמם. הסינוס והקוסינוס הם פונקציות מחזוריות: הם חוזרים על עצמם בכל סיבוב שלם, לעולם.

לעיתים קרובות מודדים זוויות ברדיאנים במקום במעלות. רדיאן אחד הוא הזווית שבה הקשת שהחרוז עבר ארוכה בדיוק כמו הרדיוס, ולכן סיבוב שלם, ההיקף של מעגל שהרדיוס שלו $1$⁠, הוא $2\pi$⁠ רדיאנים, בערך $6.28$⁠.

לפרוש את הסיבוב לגלים

עכשיו תנו לגלגל לזחול קדימה לאורך סרן בזמן שהוא מסתובב, כמו בורג. החרוז משרטט סליל, הצורה של קפיץ. הסתכלו על הסליל מהצד, בלי לשים לב כמה החרוז נמצא ימינה או שמאלה, ותראו רק את הגובה שלו מול המרחק שעבר: גל הסינוס. הסתכלו עליו מלמעלה ותראו רק את הרוחב שלו: גל הקוסינוס, אותה צורה, מוזזת ברבע סיבוב.

נסו: הזיזו את הזווית עד הסוף, 720°, ואז בחרו גלים בפריסה לגלים והשוו את הקו הכחול שעל הקיר לקו הוורוד שעל הרצפה.

חזרה לניסוי ↑

זו הסיבה שגלים סינוסיים נמצאים בכל מקום. לכל דבר שמסתובב בקצב קבוע, או מתנדנד הלוך ושוב כמו מטוטלת בתנודות קטנות או משקולת על קפיץ, יש מיקום שמשתנה בזמן לפי גל סינוסי. את הקול, את זרם החילופין בשקע החשמל ואת הרטט של מיתר גיטרה מתארים כולם בעזרת סינוסים וקוסינוסים.

מאיפה באו המילים

אסטרונומים פיתחו את הטריגונומטריה כדי לחשב את המקומות של השמש, הירח וכוכבי הלכת. היפרכוס ערך לוח של מיתרים במעגלים במאה השנייה לפני הספירה. מתמטיקאים הודים, ובהם אריאבהטה בסביבות שנת 500 לספירה, השתמשו במקום זה בחצי המיתר, שהוא הסינוס. המילה הסנסקריטית שלהם עברה לערבית, ושם הצורה הכתובה שלה נקראה כמילה הערבית לקפל או לכיס. מתרגמים ללטינית במאה ה־12 תרגמו אותה ל־sinus, שפירושה קפל או מפרץ, ומכאן השם “סינוס”. הקוסינוס הוא הסינוס של הזווית המשלימה, הזווית שמשלימה אותה ל־90°.

מה המודל הזה משמיט

לאורך הסרן סיבוב שלם מצויר באורך שתי יחידות במקום באורכו האמיתי, $2\pi$⁠, ולכן הגלים על הקיר ועל הרצפה לחוצים לרוחב בהשוואה לגרף אמיתי של סינוס כפונקציה של רדיאנים; הגבהים שלהם מדויקים. הזווית נעה מ־0° עד 720°, ורק נגד כיוון השעון. זוויות שליליות, כלומר סיבוב בכיוון השעון, נותנות את אותם ערכים בתמונת ראי: הסינוס מחליף סימן והקוסינוס לא. הטנגנס, סינוס חלקי קוסינוס, אינו מוצג.