טורף ונטרף.

שלב 1 מתוך 6

ארבעה רבעים

אוכלוסייה היא כל הפרטים של מין אחד במקום אחד. הסצנה מצמצמת מערכת אקולוגית לשתי אוכלוסיות: ארנבי בר, שאוכלים דשא שלא נגמר אף פעם, ושועלים, שאוכלים ארנבים. השועל הוא הטורף והארנב הוא הנטרף. בשנה $0$⁠ יש באחו $40$⁠ ארנבים ו־$6$⁠ שועלים, וכל דמות היא בעל חיים אחד.

הגידול של כל אוכלוסייה תלוי בגודלה של האחרת. הארנבים מתרבים כשיש פחות מ־$15$⁠ שועלים, והשועלים מתרבים כשיש יותר מ־$120$⁠ ארנבים. שני הקווים האלה מחלקים את הלולאה לארבעה רבעים. שנים נעולות עכשיו על שנה $2.8$⁠; קראו את ההסבר בסצנה ונבאו את הרבע הבא.

שלב 2 מתוך 6

השועלים מאחרים

גררו את שנים לאט קדימה ואחורה סביב השנים $3$⁠ עד $5$⁠, והסתכלו בתרשים הראשון: שני גלים, וגל השועלים מעט מאחורי גל הארנבים. התרשים השני מציג את אותה ריצה אחרת, ארנבים לרוחב ושועלים לגובה, והנקודה מסתובבת בו נגד כיוון השעון.

שלב 3 מתוך 6

נקודת האיזון

האיקס שבתוך הלולאה הוא נקודת האיזון: אילו היו באחו בדיוק $120$⁠ ארנבים ו־$15$⁠ שועלים, הלידות והמיתות היו מתאזנות אצל שניהם ושום דבר לא היה משתנה. היא גם הממוצע של כל אוכלוסייה לאורך סיבוב שלם. המודל הוא משוואות לוטקה–וולטרה,

$\frac{dR}{dt} = aR - bRF, \qquad \frac{dF}{dt} = k\,bRF - mF$$\frac{dR}{dt} =$$aR - bRF, \qquad \frac{dF}{dt} =$$k\,bRF - mF$⁠

וכששני הקצבים שווים לאפס, $R^* = \dfrac{m}{kb}$⁠ ו־$F^* = \dfrac{a}{b}$⁠. כאן $a$⁠ הוא קצב הילודה של הארנבים, $m = 0.8$⁠ הוא קצב התמותה של השועלים, $k = 0.1$⁠ הוא חלק הגור שכל ארנב טרוף מגדל, ו־$b$⁠ נקבע לפי הצלחה בציד.

שלב 4 מתוך 6

לצאת באפס

השועלים מפסיקים לגדול בדיוק כשהגורים שנולדים מחליפים את השועלים שמתים. אפשר לשאול את זה על שועל אחד: כמה הוא צריך לטרוף?

שלב 5 מתוך 6

שנים שופעות

שתי הנוסחאות של נקודת האיזון אומרות משהו לא צפוי: קצב הילודה של הארנבים $a$⁠ מופיע רק בממוצע של השועלים, והתמותה של השועלים רק בממוצע של הארנבים. לפני שמשנים משהו, נבאו מה יקרה לממוצעים.

שלב 6 מתוך 6

ציידים טובים יותר

קצב הילודה של הארנבים קבוע, והצלחה בציד פתוחה. מה קורה לשועלים כשהם לומדים לצוד טוב יותר? השתמשו בנוסחה של $F^*$⁠ כדי לדעת לאן ללכת.