שיפוע ושטח מבטלים זה את זה.

שלב 1 מתוך 4

עקומה עם גבעה

עד עכשיו עבדנו עם פרבולות. העקומה כאן מורכבת יותר: $f(x) = 0.2x^3 - 1.2x^2 + 1.8x + 0.5$$f(x) =$$0.2x^3 - 1.2x^2 + 1.8x + 0.5$⁠, עם גבעה ושקע. הקו בצבע הפליז הוא המשיק בנקודה, והרצועות הכחולות מתחתיו הן המלבנים של סכום רימן.

הזיזו את הנקודה x ומצאו את המקום שבו המשיק שוכב ישר על הגבעה.

שלב 2 מתוך 4

בירידה

הנגזרת של העקומה הזאת היא $f'(x) = 0.6(x - 1)(x - 3)$$f'(x) =$$0.6(x - 1)(x - 3)$⁠. היא מתאפסת בפסגת הגבעה ובתחתית השקע, ומחליפה שם סימן.

שלב 3 מתוך 4

רצועות צרות

עכשיו הנקודה x נעולה על $4$⁠, והרצועות ברוחב $1$⁠. סכום הרצועות מוצג על הלוח, והשטח המדויק מתחת לעקומה מ־$0$⁠ עד $4$⁠ הוא $3.6$⁠.

שלב 4 מתוך 4

המשפט היסודי

גררו את רצועות דקות יותר אל השטח המדויק. העקומה הוורודה היא $A(x)$⁠, השטח שהצטבר מ־$0$⁠ ועד הנקודה. גם בה נוגע משיק, ותחתיו משולש שיפוע ברוחב $1$⁠. השוו את העלייה של המשולש לקו הירוק שמהציר עד העקומה הראשונה, והזיזו את הנקודה x.