חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: קצב ושטח.

שתי שאלות על עקומה

מד המהירות של מכונית ומונה הקילומטרים שלה עונים על שתי שאלות שונות. אחד אומר כמה מהר נוסעים ברגע זה; השני אומר כמה דרך כבר עברו. חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי הוא המתמטיקה של שתי השאלות האלה, לכל כמות שמשתנה: כמה מהר היא משתנה ברגע אחד, קצב, וכמה היא הצטברה עד עכשיו, שטח.

על הלוח עקומה עם גבעה ב־$x = 1$⁠ ושקע ב־$x = 3$⁠. קו ישר נוגע בה בנקודה $x$⁠, ורצועות כחולות ממלאות את השטח שמתחתיה מ־$0$⁠ ועד הנקודה.

שיפוע: כמה תלול בנקודה אחת

לעקומה אין תלילות אחת; היא משתנה לאורך הדרך. כדי למדוד אותה בנקודה אחת, מניחים סרגל על העקומה כך שייגע בה שם בלי לחתוך אותה. הקו הזה הוא המשיק, והתלילות שלו, כמה הוא עולה על כל צעד ימינה, היא השיפוע של העקומה בנקודה, שנקרא גם הנגזרת.

הסתכלו על המשיק כשאתם מזיזים את הנקודה x. בעלייה לגבעה הוא נוטה למעלה, והשיפוע חיובי. בפסגה הוא שוכב ישר: השיפוע בדיוק $0$⁠. בירידה אל השקע הוא נוטה למטה והשיפוע שלילי, עד שהוא שוכב שוב ישר בתחתית. בעקומה הזאת השיפוע הוא $0.6(x - 1)(x - 3)$⁠, שמתאפס בדיוק בשני המקומות האלה.

שטח: לחבר רצועות דקות

לשטח שמתחת לעקומה אין נוסחה פשוטה מהגאומטריה של בית הספר. התרגיל הוא לחתוך אותו לרצועות זקופות דקות. כל רצועה היא כמעט מלבן, והשטח של מלבן הוא רוחב כפול גובה. מחברים את כל המלבנים ומקבלים הערכה, שנקראת סכום רימן על שם ברנהרד רימן, שניסח את הרעיון במדויק בשנות ה־$1850$⁠. הרעיון עצמו עתיק בהרבה: במאה השלישית לפני הספירה מצא ארכימדס את השטח של חלק מעוקל של פרבולה כשמילא אותו במשולשים קטנים והולכים.

כאן כל רצועה גבוהה כמו העקומה בקצה השמאלי שלה. איפה שהעקומה עולה, הרצועות נמוכות ממנה; איפה שהיא יורדת, הן בולטות מעליה. התצוגה מחברת אותם ומשווה את הסכום לשטח המדויק.

נסו: קבעו את רוחב הרצועה על $1$⁠, $0.5$⁠ ואז $0.1$⁠ וראו את השגיאה מתכווצת. אחר כך לחצו על פסגת הגבעה של הנקודה x וגררו את רצועות דקות יותר אל השטח המדויק.

חזרה לניסוי ↑

רצועות צרות יותר, שגיאה קטנה יותר

כשהנקודה x ב־$4$⁠, סכום הרצועות הוא $3.2$⁠ כשהרצועות ברוחב $1$⁠, $3.4$⁠ ברוחב $0.5$⁠ ו־$3.56$⁠ ברוחב $0.1$⁠, והוא מתקרב לשטח המדויק, $3.6$⁠. כאן חציית הרוחב חוצה גם את השגיאה, כי הטעות של כל רצועה היא פס דק שמתכווץ יחד איתה. כשהרוחב שואף לאפס, הסכום מתייצב על מספר אחד: הגבול הזה הוא השטח המדויק, האינטגרל.

הערך המדויק לא צריך אינסוף רצועות. הוא בא מנוסחה שנייה, הפונקציה הקדומה, $A(x) = 0.05x^4 - 0.4x^3 + 0.9x^2 + 0.5x$$A(x) =$$0.05x^4 - 0.4x^3 + 0.9x^2 + 0.5x$⁠, שנותנת את השטח מתחת לעקומה מ־$0$⁠ ועד כל $x$⁠.

שיפוע ושטח מבטלים זה את זה

גררו את רצועות דקות יותר אל השטח המדויק, והרצועות מתמזגות למשטח חלק אחד. מעליו עולה עקומה ורודה: $A(x)$⁠, השטח שנאסף עד עכשיו כשהנקודה זזה ימינה. משיק שני נוגע בעקומה הזאת באותו $x$⁠, ומתחתיו משולש שיפוע ברוחב יחידה אחת.

העלייה של המשולש הזה גבוהה בדיוק כמו הקו הירוק שמהציר ועד העקומה הראשונה. הקצב שבו השטח גדל הוא הגובה של העקומה: איפה שהעקומה גבוהה, כל צעד ימינה מוסיף הרבה שטח ו־$A$⁠ מטפסת בתלילות; איפה שהיא שוקעת, $A$⁠ כמעט לא עולה. זה המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי: מציאת שיפוע ומציאת שטח הן פעולות הפוכות, וכל אחת מבטלת את השנייה. בגללו הפונקציה הקדומה נותנת שטחים מדויקים, ובגללו מה שמראה מד המהירות הוא הקצב שבו מונה הקילומטרים מטפס.

אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ גילו את זה כל אחד בנפרד, במחצית השנייה של המאה ה־$17$⁠. לייבניץ פרסם ראשון, ב־$1684$⁠, והסימון שלו, $dx$⁠ לרצועה דקה וה־S המתוחה של $\int$⁠ לסכום, משמש עד היום.

מה המודל הזה משמיט

העקומה היא פולינום חלק אחד, קבוע מראש, שנשאר מעל הציר, ולכן כל השטחים כאן חיוביים; מתחת לציר, שטח נספר כשלילי. הרצועות משתמשות בגובה העקומה בקצה השמאלי שלהן, אחת מכמה בחירות מקובלות, והרצועה האחרונה נחתכת בנקודה $x$⁠. השיפועים, סכום הרצועות והשטח המדויק מוצגים מעוגלים, אבל כל אחד מהם מחושב מהנוסחאות, לא נמדד מהציור.