השטח מתחת לעקומה.

שלב 1 מתוך 5

שטח מתחת לישר

השאלה השנייה של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי היא כמה שטח יש בין עקומה לבין ציר $x$⁠. מתחילים בישר, שבו כבר יודעים לחשב: על הלוח $y = x$⁠, ומתחתיו, מ־$x = 0$⁠ עד $x = 4$⁠, יושב משולש. ענו, ואז בחרו השטח תחת מבט פנימה.

שלב 2 מתוך 5

מלבנים צרים

מתחת לעקומה אין משולש. במקום זה חותכים את השטח למלבנים צרים, כל אחד גבוה כמו העקומה בקצה השמאלי שלו, ומחברים את השטחים שלהם. זה סכום רימן.

על הלוח $y = x^2$⁠, מ־$0$⁠ עד $3$⁠, בשלושה מלבנים ברוחב $1$⁠.

שלב 3 מתוך 5

יותר מלבנים

המלבנים בשלב הקודם השאירו בחוץ פיסות של שטח. מה יקרה אם נחתוך את אותו קטע ל־$30$⁠ מלבנים צרים?

שלב 4 מתוך 5

הפונקציה הקדומה

ככל שהמלבנים צרים יותר, הסכום מתקרב למספר אחד: השטח המדויק, האינטגרל, שנכתב $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx$⁠. את המספר הזה אפשר לקבל בלי מלבנים, מפונקציה קדומה: פונקציה שהנגזרת שלה היא העקומה. הנגזרת של $\dfrac{x^3}{3}$⁠ היא $x^2$⁠, ולכן

$\int_0^3 x^2\,dx = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3}$$\int_0^3 x^2\,dx =$$\frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3}$⁠

בדרך כלל: מעלים את החזקה באחד ומחלקים בחזקה החדשה. זה ההפך של כלל הגזירה מהשיעור הקודם.

שלב 5 מתוך 5

מתחת לציר

על הלוח $y = x - 2$⁠, מ־$0$⁠ עד $4$⁠. חלק מהשטח מעל ציר $x$⁠ וחלק מתחתיו. האינטגרל סופר שטח מתחת לציר כשלילי: שם הגובה $y$⁠ שלילי, ורוחב כפול גובה שלילי הוא מספר שלילי. על הלוח השטח השלילי ורוד.