הנגזרת.

שלב 1 מתוך 4

המשיק

בשיעור הקודם קירבנו את שתי נקודות המיתר זו לזו, והשיפוע שלו התייצב על מספר אחד. הישר שהמיתר נעשה כשהנקודות מתלכדות הוא המשיק: הוא נוגע בעקומה בנקודה אחת ונוטה בדיוק כמוה שם. השיפוע שלו הוא הנגזרת של הפונקציה בנקודה, וכותבים אותו $f'(x)$⁠.

על הלוח $y = x^2$⁠, והנקודה ב־$x = 3$⁠. המשיק עוד מוסתר.

שלב 2 מתוך 4

הנגזרת כפונקציה

בכל נקודה יש למשיק שיפוע אחר, ולכן הנגזרת היא בעצמה פונקציה: לכל $x$⁠ היא נותנת את השיפוע שם. הזיזו את הנקודה x וכתבו לעצמכם את שיפוע המשיק ב־$x = 1$⁠, $2$⁠ ו־$3$⁠.

למה? המיתר מ־$x$⁠ עד $x + h$⁠ על $y = x^2$⁠ עולה $(x + h)^2 - x^2 = 2xh + h^2$$(x + h)^2 - x^2 =$$2xh + h^2$⁠, ולכן השיפוע שלו $\dfrac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$$\dfrac{2xh + h^2}{h} =$$2x + h$⁠. כש־$h$⁠ שואף לאפס נשאר $2x$⁠.

שלב 3 מתוך 4

איפה המשיק שוכב?

על הלוח $y = x^2 - 4x + 3$⁠. בקודקוד של פרבולה העקומה מפסיקה לרדת ומתחילה לעלות, ושם המשיק שוכב ישר: השיפוע $0$⁠. כך הנגזרת מוצאת נקודות מינימום ומקסימום.

שלב 4 מתוך 4

הכלל

אותו חישוב עובד לכל פונקציה ריבועית, ונותן כלל אחד:

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 2ax + b$$f(x) =$$ax^2 + bx + c \quad \Rightarrow$$\quad f'(x) =$$2ax + b$⁠

כל איבר נגזר לחוד: $ax^2$⁠ נותן $2ax$⁠, $bx$⁠ נותן $b$⁠ (ישר, ששיפועו $b$⁠), והמספר $c$⁠ נותן $0$⁠, כי הוא רק מרים את העקומה ולא משנה את התלילות שלה. על הלוח $y = 3x^2 - 2x + 5$⁠.