משפט בייס.

שלב 1 מתוך 5

הנוסחה

עד עכשיו ספרנו אנשים. אותו חשבון אפשר לכתוב בסיכויים. נסמן ב־$D$⁠ את “חולה”, ב־$H$⁠ את “בריא” וב־$+$⁠ את “תוצאה חיובית”. השאלה של מי שקיבל תוצאה חיובית היא $P(D \mid +)$⁠: כמה מהחיוביים חולים. המונה הוא המזרן השמאלי, החולים החיוביים, והמכנה הוא שני המזרנים יחד:

$P(D \mid +) = \frac{P(+ \mid D) \cdot P(D)}{P(+ \mid D) \cdot P(D) + P(+ \mid H) \cdot P(H)}$$P(D \mid +) =$$\frac{P(+ \mid D) \cdot P(D)}{P(+ \mid D) \cdot P(D) + P(+ \mid H) \cdot P(H)}$⁠

זה משפט בייס. $P(D)$⁠ הוא שיעור הבסיס, $P(+ \mid D)$⁠ ו־$P(+ \mid H)$⁠ הם מה שיודעים על הבדיקה, ומה שיוצא, $P(D \mid +)$⁠, הוא מה שרוצים לדעת.

כאן $2\%$⁠ חולים ובדיקה של $95\%$⁠. חשבו, ואז מיינו את החיוביים ובדקו.

שלב 2 מתוך 5

הופכים את התנאי

המכנה בנוסחה הוא פשוט $P(+)$⁠, כל החיוביים, כפי שראיתם בעצים. לכן אפשר לכתוב את המשפט גם בקצרה. הכוח שלו הוא שהוא הופך את התנאי: מהסיכוי שהבדיקה חיובית בהינתן מחלה, שאותו מודדים במעבדה, לסיכוי למחלה בהינתן תוצאה חיובית, שאותו צריך המטופל.

שלב 3 מתוך 5

בודקים שוב

$28\%$⁠ זה עדיין מעט. מה עושים? בדיקה חוזרת לחיוביים דולקת: כל מי שיצא חיובי נבדק שוב בבדיקה בלתי תלויה, ונשאר חיובי רק אם גם השנייה חיובית. חשבו מה הסיכוי עכשיו.

שלב 4 מתוך 5

צעד אחר צעד

המזרנים מראים את מה שהחשבון אמר: כמעט כל הבריאים נופו בבדיקה השנייה. יש דרך נוספת לראות את זה. אחרי הבדיקה הראשונה, הסיכוי להיות חולה כבר אינו $2\%$⁠ אלא $27.9\%$⁠. את המספר הזה אפשר להכניס לנוסחה כשיעור בסיס חדש.

שלב 5 מתוך 5

כשל התובע

אותה טעות של הפיכת התנאי מופיעה גם בבתי משפט. הסיכוי שראיה תופיע אצל אדם חף מפשע הוא דבר אחד; השופט צריך את ההפך, הסיכוי שהאדם חף מפשע בהינתן הראיה.