חשיבה בייסיאנית וראיות.

תוצאה חיובית

נניח שאדם אחד מכל מאה חולה במחלה מסוימת, ויש לה בדיקה שצודקת ב־90% מהמקרים: היא נותנת תוצאה חיובית ל־90% מהאנשים שחולים במחלה, ותוצאה שלילית ל־90% מהאנשים שלא. אתם עוברים את הבדיקה, והיא יוצאת חיובית. מה הסיכוי שאתם חולים?

רוב האנשים עונים 90%, וכך גם רופאים רבים כשהשאלה מוצגת להם כחידה. התשובה האמיתית היא בערך 8%. הבדיקה לא נכשלה: היא עשתה בדיוק את מה שהדיוק שלה מבטיח. מה שהתשובה המהירה שוכחת הוא עד כמה המחלה הייתה נדירה עוד לפני שמישהו נבדק.

ספרו את הקהל

אחוזים מסתירים את ההיגיון; ספירת אנשים חושפת אותו. הסצנה מעמידה אלף אנשים על רצפת אולם ספורט, וכולם עוברים את הבדיקה. כל מי שהתוצאה שלו חיובית מרים כרטיס כתום. בהגדרות ההתחלתיות עולים 108 כרטיסים.

עכשיו ספרו מי באמת חולה. אחד מכל מאה, מתוך אלף, הם 10 אנשים. הבדיקה תופסת 90% מהם, ולכן 9 מהם מחזיקים כרטיס ואחד מפוספס. 990 האנשים האחרים בריאים, והבדיקה קובעת בטעות ש־10% מהם חיוביים: 99 אנשים. כך ש־108 הכרטיסים הם 9 אנשים חולים ו־99 שאינם חולים. כרטיס פירושו “חולה” רק 9 פעמים מתוך 108, כ־8%.

נסו: קדמו את מיון התוצאות אל מי חולה. עשרת האנשים שבאמת חולים במחלה מאדימים, וכל השאר מאפירים. רוב הכרטיסים מוחזקים בידי אנשים אפורים. המשיכו אל החיוביים ממוינים, וכל מי שמחזיק כרטיס הולך אל מזרן: תשעה אל חולים במחלה, תשעים ותשעה אל בריאים.

חזרה לניסוי ↑

ספירה כזאת, באנשים שלמים מתוך מספר עגול, נקראת שימוש בשכיחויות טבעיות. התרשים שליד הסצנה מצייר את אותם מספרים כעץ: האלף מתפצלים לחולים ולבריאים, וכל קבוצה מתפצלת לתוצאות חיוביות ושליליות. התשובה היא התיבה החיובית השמאלית חלקי שתי התיבות החיוביות יחד.

שיעור הבסיס מכריע

המלכודת היא שאזעקות השווא באות מקבוצת הבריאים, וקבוצת הבריאים עצומה. שיעור טעות קטן שחל על 990 אנשים מייצר הרבה יותר תוצאות חיוביות שגויות מאשר שיעור הצלחה גדול שחל על 10 אנשים מייצר תוצאות נכונות. עד כמה דבר שכיח לפני שמסתכלים על הראיה נקרא שיעור הבסיס שלו, והתעלמות ממנו נקראת כשל שיעור הבסיס.

נסו: העלו את דיוק הבדיקה עד 99%. עכשיו 10 חולים ו־10 בריאים מחזיקים כרטיסים, ותוצאה חיובית היא הטלת מטבע. הורידו את עד כמה המחלה שכיחה עד 0.1%, אחד מכל 1000: אדם אחד חולה, ועשרה בריאים עומדים לצדו, כך שתוצאה חיובית נכונה פעם אחת מתוך 11. אחר כך העלו אותה עד 10%, אחד מכל 10: 99 מתוך 108 מחזיקי הכרטיסים חולים. הבדיקה זהה בשלושת המקרים; רק שיעור הבסיס השתנה.

חזרה לניסוי ↑

לכן “עד כמה הבדיקה מדויקת?” היא לבדה השאלה הלא נכונה. בדיקה מצוינת במחלקה בבית חולים, שבה רבים מהנבדקים חולים, עלולה להטעות כשסורקים בה אוכלוסייה שלמה למחלה נדירה. זו הסיבה שתוכניות סקר מוסיפות בדיקות אחרי תוצאה חיובית, לפני שאומרים למישהו שהוא חולה.

כלל בייס

לספירה יש נוסחה. נסמן ב־$P(\text{ill})$⁠ את שיעור החולים לפני הבדיקה, ב־$P(+ \mid \text{ill})$⁠ את הסיכוי שחולה יקבל תוצאה חיובית, וב־$P(+ \mid \text{healthy})$⁠ את הסיכוי שבריא יקבל תוצאה כזאת; הקו המאונך נקרא “בהינתן”. הסיכוי שמי שקיבל תוצאה חיובית חולה הוא

$P(\text{ill} \mid +) = \frac{P(+ \mid \text{ill})\,P(\text{ill})}{P(+ \mid \text{ill})\,P(\text{ill}) + P(+ \mid \text{healthy})\,P(\text{healthy})}$$P(\text{ill} \mid +) =$$\frac{P(+ \mid \text{ill})\,P(\text{ill})}{P(+ \mid \text{ill})\,P(\text{ill}) + P(+ \mid \text{healthy})\,P(\text{healthy})}$⁠

המונה הוא שיעור האנשים שהם גם חולים וגם חיוביים, התיבה החיובית השמאלית בעץ. המכנה הוא שיעור כל החיוביים, שתי התיבות החיוביות. עם המספרים ההתחלתיים מקבלים $0.9 \times 0.01 \div (0.9 \times 0.01 + 0.1 \times 0.99) = 0.0083$$0.9 \times 0.01 \div (0.9 \times 0.01 + 0.1 \times 0.99) =$$0.0083$⁠, אותם 9 מתוך 108 שהקהל מראה.

זהו כלל בייס, על שם תומאס בייס, כומר אנגלי שהמאמר שלו בנושא פורסם ב־1763, שנתיים אחרי מותו, בידי חברו ריצ’רד פרייס; פייר־סימון לפלס פיתח את הצורה הכללית באופן עצמאי והשתמש בה רבות. לחלקים שלו יש שמות. $P(\text{ill})$⁠, האמונה לפני הראיה, היא ההסתברות הקודמת (prior). $P(\text{ill} \mid +)$⁠, האמונה אחריה, היא ההסתברות הפוסטריורית (posterior). ברפואה $P(+ \mid \text{ill})$⁠ היא הרגישות של הבדיקה, ו־$1 - P(+ \mid \text{healthy})$⁠ היא הסגוליות שלה; בסצנה הזאת פקד אחד קובע את שתיהן.

הכי קל להשתמש בכלל בייס בצורת יחס סיכויים. לפני הבדיקה יחס הסיכויים להיות חולה הוא 1 ל־99. תוצאה חיובית סבירה פי 9 אצל חולה (90%) מאשר אצל בריא (10%), והיחס הזה, יחס הנראות, מכפיל את יחס הסיכויים: 9 ל־99, כלומר 9 חולים על כל 99 בריאים בין מחזיקי הכרטיסים.

ראיות מצטברות

הסתברות פוסטריורית יכולה לשמש הסתברות קודמת לראיה הבאה. הפעילו את בדיקה חוזרת לחיוביים, וכל מי שקיבל תוצאה חיובית עובר בדיקה שנייה, בלתי תלויה; רק מי שיצא חיובי בשתיהן נשאר עם כרטיס. יחס הסיכויים מוכפל שוב פי 9: 81 ל־99. בקהל, 8 חולים ו־10 בריאים מחזיקים כרטיסים, ולכן תוצאה חיובית נכונה עכשיו בכ־45% מהמקרים במקום 8%. כשדיוק הבדיקה על 99% תוצאה חיובית שנייה משאירה רק את 10 החולים.

הבדיקה השנייה עוזרת רק אם הטעויות שלה בלתי תלויות בטעויות של הראשונה. אם משהו אצל אדם בריא הטעה את הבדיקה הראשונה, בדיקה מאותו סוג עלולה להיות מוטעית שוב, ולכן רופאים מאשרים תוצאה בבדיקה מסוג אחר. שימו לב גם למחיר: הבדיקה החוזרת מפספסת 2 מתוך 10 החולים במקום אחד, כי כל בדיקה יכולה לפספס אותם.

מעבר לרפואה

אותה חשיבה חלה בכל פעם שראיה נוגעת ברעיון. בשיטה המדעית תוצאה מפתיעה שוקלת יותר או פחות לפי מידת הסבירות של הרעיון מלכתחילה, ולכן ניסוי יחיד שטוען משהו לא סביר מאוד נבדק לפני שמאמינים לו. בבית משפט, התאמה פורנזית שהייתה קורית במקרה רק פעם אחת במיליון נשמעת מכרעת, אבל בעיר של עשרה מיליון איש בערך עשרה אנשים חפים מפשע היו מתאימים גם הם; התייחסות ל“אחד במיליון” כאל הסיכוי לחפות נקראת כשל התובע. מסנני דואר זבל שוקלים כל מילה בהודעה באותה דרך, ומכפילים את יחס הסיכויים שהיא זבל.

ההסתברויות עצמן הן הנושא של הסתברות ועקומת הפעמון. עד כמה מספר שנמדד בטוח מוסבר במודלים ואי־ודאות, ולמה קשר בין שתי מדידות הוא ראיה בסטטיסטיקה ורגרסיה. מגפה משנה את שיעור הבסיס משבוע לשבוע, ולכן אותה בדיקה אומרת יותר בשיא המגפה מאשר בתחילתה.

מה המודל הזה משמיט

• דיוק אחד לשני מספרים. לבדיקות אמיתיות יש רגישות וסגוליות שונות, לעיתים קרובות שונות מאוד; בדיקה יכולה לתפוס 99% מהחולים אבל לנקות רק 95% מהבריאים. הסצנה משתמשת בפקד אחד לשתיהן כדי שהספירה תישאר פשוטה.
• מספרים צפויים ומעוגלים. כל מספר בקהל הוא המספר הצפוי, מעוגל לאדם שלם, ולכן הוא יכול להיות שונה מעט מכלל בייס: כשהמחלה ב־0.1% (אחד מכל 1000) והבדיקה מדויקת ב־99% הקהל מראה 1 מתוך 11, כ־9.1%, והכלל נותן 9.0%. בקבוצה אמיתית של אלף איש המספרים היו משתנים במקרה סביב המספרים האלה.
• מי נבדק. לאנשים שהולכים לרופא כי הם מרגישים חולים יש הסתברות קודמת גבוהה בהרבה מלאדם אקראי, ולכן אותה תוצאה חיובית אומרת אצלם יותר.
• בדיקות בלתי תלויות. ההנחה היא שהבדיקה השנייה עושה טעויות משלה, שאינן קשורות לטעויות של הראשונה.
• רק חיובי או שלילי. בדיקות אמיתיות רבות נותנות מספר, והמקום שבו מותחים את הקו בין חיובי לשלילי מחליף מקרים מפוספסים באזעקות שווא.