מודלים ואי־ודאות.

נפילה אחת לא מספיקה

תלו כדור פלדה על אלקטרומגנט, נתקו את הזרם ומדדו כמה זמן לוקח לכדור ליפול מטר אחד אל משטח מגע. השעון מתחיל כשהזרם נפסק ועוצר כשהכדור נוחת, ומהזמן מקבלים את תאוצת הנפילה החופשית דרך הכלל של כל גוף שנופל בחופשיות ממנוחה, $h = \frac{1}{2}gt^2$⁠, כלומר $g = 2h/t^2$⁠. נפילה של מטר אחד בדיוק נמשכת 0.4515 s אם g הוא 9.81 m/s².

עכשיו עשו את זה שוב. הנפילה השנייה לא נותנת אותו זמן, וגם לא השלישית. הכדור מסתובב קצת כשהמגנט משחרר אותו, המגע במשטח נסגר שבריר מוקדם מדי או מאוחר מדי, והקריאות נוחתות כמה מאיות של מטר לשנייה בריבוע זו מזו. הלוח שבסצנה מנהל רישום: כל נפילה הופכת לכדור על סיכה, בשורה של הקריאה שלה, והקריאות נערמות לאורך סרגל מ־8.8 עד 10.8 m/s². הרישום הזה הוא היסטוגרמה ששוכבת על צדה.

שום כדור לבדו לא אומר בכמה הוא טועה. הנפילה הראשונה על הלוח קוראת 9.63 m/s², שיכולה להיות נכונה עד כדי כמה מאיות או לטעות בשתי עשיריות; שום דבר בקריאה אחת לא מגלה איזו מהשתיים. אי־ודאות היא לא טעות שצריך להתבייש בה. היא חלק מכל מדידה, והעבודה היא לומר כמה היא גדולה.

שגיאה אקראית והפיזור

שגיאות שמשתנות מנפילה לנפילה, פעם למעלה ופעם למטה, הן שגיאות אקראיות. ריצוד בתזמון קובע את גודלן: סטיית התקן של שגיאת התזמון, באלפיות שנייה. קדמו את חישוב הערך האמיתי אל פיזור, והלוח מתאים מודל לערימה, עקומת פעמון שמרכזה הוא הממוצע של הקריאות, $\bar{g}$⁠, ורוחבה הוא הפיזור שלהן, או סטיית התקן, $s$⁠:

$s = \sqrt{\frac{\sum (g - \bar{g})^2}{n - 1}}$$s =$$\sqrt{\frac{\sum (g - \bar{g})^2}{n - 1}}$⁠

עם 25 נפילות והריצוד ההתחלתי, הלוח כותב $\bar{g} =$⁠ 9.79 m/s² ו־$s =$⁠ 0.20 m/s². הרצועה המוצללת מ־$\bar{g} - s$⁠ עד $\bar{g} + s$⁠ מכילה בערך שתיים מכל שלוש קריאות, כמו בכל דבר שמתפלג לפי עקומת פעמון. זה מודל במובן הפשוט ביותר: תיאור קצר, שני מספרים, שעומד במקום ערימה של נתונים ומנבא איפה הקריאה הבאה תנחת כנראה.

הפיזור מתאר קריאה אחת. הוסיפו נפילות והעקומה מתמלאת, אבל היא לא נעשית צרה יותר: הערימה של 100 נפילות רחבה בערך כמו זו של 25, $s =$⁠ 0.18 m/s². עוד נפילות לא מייצבות את השעון. רק שעון טוב יותר עושה את זה: הורידו את הריצוד בתזמון ל־2 ms, ורוחב הערימה נחצה.

נסו את זה: הזיזו את הנפילות מ־1 דרך 4 ו־25 עד 100. הערימה גדלה לפעמון, אבל הרוחב שלה נשאר בערך אותו דבר. אחר כך נסו את הריצוד בתזמון על 8 ms ועל 2 ms.

חזרה לניסוי ↑

למה הממוצע בטוח יותר: √n

הניסוי לא מחפש קריאה אחת אלא את g, וההערכה הטובה ביותר של g היא הממוצע. הממוצע יציב הרבה יותר מכל קריאה בודדת, כי השגיאות האקראיות שבו מבטלות זו את זו בחלקן: חלק מהנפילות קוראות גבוה, חלק נמוך, וככל שיש יותר מהן, הגבוהות והנמוכות מתאזנות טוב יותר. קדמו אל פס שגיאה. הפס האנכי הבהיר שליד הערימה הוא שגיאת התקן של הממוצע,

$\frac{s}{\sqrt{n}},$⁠

מצויר כפלוס־מינוס שגיאת תקן אחת, עם שפמים דקים יותר עד שתיים. עם 25 נפילות הוא ± 0.04 m/s², קטן פי חמישה מ־$s$⁠, כי $\sqrt{25} = 5$⁠. את התוצאה כותבים g = 9.79 ± 0.04 m/s².

הקווים הכתומים שליד הפס מראים מה המספר הזה אומר. כל אחד מהם הוא הממוצע של סדרה אחרת של אותו מספר נפילות, 24 סדרות נוספות שהיו יכולות לקרות במקום זו. עם נפילה אחת הקווים מתפזרים לרוחב כמו קריאות בודדות. עם 100 נפילות הם מצטופפים בעשירית מזה, כמעט כולם בתוך השפמים של הפס: שגיאת התקן היא המרחק שבו ממוצע של סדרה חוזרת ינחת בדרך כלל מהממוצע הזה.

בגלל השורש, דיוק נעשה יקר. כדי לחצות את פס השגיאה צריך פי ארבעה נפילות, וכדי להקטין אותו פי עשרה צריך פי מאה. הגרף שליד הסצנה משרטט את $s/\sqrt{n}$⁠ מול מספר הנפילות: הוא יורד בתלילות בהתחלה ואז משתטח, כך שהנפילות האחרונות קונות מעט.

שגיאה שיטתית

עכשיו קדמו אל הערך האמיתי. קו ורוד מסמן את הערך המקובל של g, 9.81 m/s², שנסיין אמיתי לא היה יודע מראש. עם 25 נפילות הוא בתוך פס השגיאה: הפער הוא 0.6 פסי שגיאה, קטן כמו שהמקרה לבדו עושה לעתים קרובות. העלו את הנפילות ל־100. הפס מתכווץ ל־± 0.02 m/s², הממוצע זז ל־9.75 m/s², והערך האמיתי נמצא עכשיו במרחק 3.5 פסי שגיאה. זה הרבה יותר ממה שהמקרה מסביר.

הסיבה היא השהיית המגנט. מגנטיות שיורית מחזיקה את הכדור לרגע אחרי שהזרם נותק, כאן 1.5 ms, ולכן כל נפילה שנמדדה ארוכה מדי ב־1.5 ms וכל קריאה של g קטנה מדי בערך ב־0.065 m/s². שגיאה שדוחפת כל קריאה לאותו כיוון היא שגיאה שיטתית. הממוצע לא יכול לגעת בה, כי היא לא מתבטלת: הממוצע של מאה קריאות שכולן נמוכות ב־0.065 נמוך ב־0.065. הגרף מראה אותה בהערך האמיתי כקו כתום שטוח ליד העקומה היורדת. מעבר למספר הנפילות שבו העקומה יורדת מתחתיו, בערך עשר כאן, השגיאה השיטתית היא הגדולה מהשתיים, ועוד נפילות רק גורמות לתשובה השגויה להיראות בטוחה יותר.

זה ההבדל בין דיוק חוזר לנכונות (באנגלית precision ו־accuracy). שגיאה אקראית פוגעת בדיוק החוזר, עד כמה הקריאות קרובות זו לזו, ועוד נתונים מרפאים אותה. שגיאה שיטתית פוגעת בנכונות, עד כמה הן קרובות לאמת, ועוד נתונים לא עוזרים. ערימה צפופה יכולה לטעות בדייקנות. ערימה רחבה יכולה להסתיר את ההטיה שלה: בריצוד של 8 ms אפילו 100 נפילות משאירות את ההשהיה של 1.5 ms בתוך השפמים.

נסו את זה: קבעו את השהיית המגנט על 0 ms ואת חישוב הערך האמיתי על הערך האמיתי. עכשיו כל מספר נפילות משתיים ומעלה מסכים עם 9.81. העלו אותה ל־5 ms: הערימה כולה גולשת למטה ב־0.21 m/s², והפס מחטיא את הקו יותר ככל שמוסיפים נפילות.

חזרה לניסוי ↑

כדי למצוא שגיאה שיטתית צריך ניסוי אחר, לא ניסוי ארוך יותר. שנו את השיטה: הפילו מכמה גבהים ושרטטו את השורש של כל גובה מול הזמן שלו. מכיוון ש־$\sqrt{h} = \sqrt{g/2}\,(t - \delta)$$\sqrt{h} =$$\sqrt{g/2}\,(t - \delta)$⁠, כש־$\delta$⁠ היא ההשהיה, הנקודות יושבות על ישר שחותך את ציר הזמן לא באפס אלא בהשהיה, והשיפוע שלו נותן את g בלעדיה (התאמת ישר כזה היא הנושא של סטטיסטיקה ורגרסיה). או כיילו: מדדו משהו שהתשובה שלו ידועה. בדיקת תוצאות מול שיטות בלתי תלויות היא חלק גדול ממה שהשיטה המדעית דורשת מניסוי.

כל תוצאה היא מודל

לכתוב g = 9.75 ± 0.02 m/s² זה כבר מודל של המדידה: כל קריאה היא הערך האמיתי, ועוד הסטה שיטתית קבועה, ועוד שגיאה אקראית שנלקחת מעקומת פעמון. הפלוס־מינוס אומר כמה רחבה התשובה בגלל החלק האקראי; הוא לא אומר דבר על ההסטה. לכן תוצאות זהירות מפרטות את שני סוגי האי־ודאות בנפרד, ולכן אי־הסכמה בין שתי מדידות זהירות, לכל אחת פס שגיאה קטן, היא רמז לכך שבאחת מהן יש שגיאה שיטתית שאיש עוד לא מצא.

גם הפיזיקה היא מודל. $g = 2h/t^2$⁠ מניח שאין גרר אוויר, שהכדור הוא נקודה ושהשעון מתחיל בדיוק כשהנפילה מתחילה. כל אחת מההנחות האלה היא שגיאה שיטתית קטנה משלה. הסטטיסטיקאי ג’ורג’ בוקס ניסח את זה במשפט שמרבים לצטט: כל המודלים שגויים, אבל חלקם מועילים. מודל טוב הוא מודל שהשגיאות שלו קטנות מהאי־ודאות שאתם צריכים, וחלק מכל מדידה הוא לבדוק שהן אכן כאלה.

מה המודל הזה משמיט

הקריאות נוצרות מסדרה קבועה אחת של מאה הגרלות אקראיות, ולכן הערימה והמספרים שלה זהים בכל ביקור; חזרות אמיתיות היו שונות. השגיאות האקראיות מתפלגות לפי עקומת פעמון ובלתי תלויות מנפילה לנפילה, ושגיאות תזמון אמיתיות רק מתקרבות לזה: משטח שנשחק או מגנט שמתחמם היו גורמים לסחיפה. הכדור על הלוח נופל בזמן שהקריאה שלו נמשכה, כאילו אין אוויר. הפיזור מחלק ב־$n - 1$⁠, כמקובל במדגם, ול־24 הסדרות החוזרות יש הגרלות קבועות משלהן. מבחן שני פסי השגיאה הוא כלל אצבע: בערך תוצאה כנה אחת מכל עשרים נוחתת רחוק כל כך מהאמת במקרה.