תנועה בליסטית.

כל זריקה משרטטת את אותו סוג של עקומה

זרקו כדור, בעטו בכדורגל או הסתכלו על סילון מים מצינור, ותראו מסלול מוכר: עלייה תלולה, התעגלות בשיא וירידה תלולה שוב. כשאין אוויר בדרך, הצורה הזאת היא פרבולה, כפי שהראה גלילאו בשנת 1638. כל גוף שנע בחופשיות תחת השפעת הכובד בלבד, גוף בתנועה בליסטית, עובר במסלול כזה.

שתי תנועות בבת אחת

הסוד הוא שגוף בתנועה בליסטית עושה בעצם שני דברים פשוטים בו־זמנית, ואף אחד מהם לא משפיע על השני.

לאורך הקרקע, אחרי שהכדור עזב את התותח שום דבר לא דוחף או מושך אותו, ולכן המהירות האופקית שלו נשארת בדיוק אותו דבר מהשיגור ועד הנחיתה: $v_x = v_0 \cos\theta$$v_x =$$v_0 \cos\theta$⁠. בכיוון האנכי הכובד מושך כל הזמן, ומוריד מהמהירות כלפי מעלה 9.81 m/s בכל שנייה: $v_y = v_0 \sin\theta - g t$$v_y =$$v_0 \sin\theta - g t$⁠. הכדור עולה לאט יותר ויותר, מפסיק לעלות בשיא, ואז נופל מהר יותר ויותר.

הצלליות מראות את שני הדברים. הן מסמנות זמנים שווים, רבע שנייה זו מזו, והן פרוסות במרווחים שווים לרוחב המגרש, אבל צפופות ליד שיא הקשת, שם הכדור כמעט לא עולה ולא יורד.

נסו: בחרו פועל תחת פיצול המהירות. החצים הכחולים, המהירות האופקית, כולם באותו אורך. החצים הכתומים, המהירות האנכית, מתכווצים לאפס בשיא, מתהפכים וגדלים בדרך למטה.

חזרה לניסוי ↑

בזריקה במהירות 20 m/s ובזווית של 30°, רכיב המהירות האנכי מתחיל ב־+10 m/s ונגמר ב־-10 m/s: אותו גודל, בכיוון ההפוך. תוצאה מפורסמת: כדור שנופל משולחן וכדור שמועף ממנו הצידה פוגעים ברצפה באותו רגע. המהירות האופקית לא משנה כמה מהר הם נופלים.

למה 45° מגיעה הכי רחוק

כמה רחוק הכדור מגיע תלוי בשני דברים: כמה זמן הוא נשאר באוויר, וכמה מהר הוא מתקדם לרוחב בזמן הזה. כיוון גבוה נותן מעוף ארוך אבל משאיר מעט מהירות להתקדמות. כיוון נמוך נותן הרבה מהירות לרוחב אבל מעוף קצר. בלי אוויר, הפשרה הטובה ביותר היא בדיוק באמצע, ב־45°, והטווח הוא

$R = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$$R =$$\frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}$⁠

לנוסחה הזאת יש תוצאה יפה: זוויות שסכומן 90° נוחתות באותו מקום. קבעו את זווית שיגור על 30° ואחר כך על 60°, והכדור ינחת בערך 35 m מהתותח בשתי הפעמים; הזריקה התלולה פשוט לוקחת יותר זמן. למהירות יש השפעה גדולה עוד יותר מלזווית: הכפילו את מהירות השיגור, והטווח יגדל פי ארבעה.

האוויר משנה את התשובה

כדורים אמיתיים עוברים דרך אוויר, והאוויר דוחף בחזרה, חזק יותר ככל שהכדור מהיר יותר. בחרו כדור טניס, והמסלול מפסיק להיות פרבולה: הוא עולה פחות, מאט לאורך המגרש ויורד בתלילות, הרבה לפני העקומה המקווקוות שבלי אוויר. גם הזווית הטובה ביותר יורדת, לכ־40° בערך לכדור טניס שנזרק ב־25 m/s, וקרוב יותר ל־30° לכדור נוצה קליל, כי מעוף ארוך וגבוה נותן לאוויר יותר זמן לגזול מהירות.

התנגדות האוויר היא אחת הסיבות שבספורט זורקים לעיתים קרובות בזווית נמוכה מ־45°. זורקים גם משחררים את הכדור מעל הקרקע, ובדרך כלל הידיים והרגליים זורקות מהר יותר בזוויות שטוחות; שני הדברים האלה מעדיפים שיגור נמוך יותר.

מה המודל הזה משאיר בחוץ

המודל מניח קרקע מישורית, שיגור מגובה המגרש, אוויר שקט וכדור שלא מסתובב. כדור מסתובב מתעקם ויכול לעלות או לצלול, וכך שחקן כדורגל מסובב בעיטה חופשית. מקדם גרר שמשתנה עם המהירות מפושט למספר אחד. במרחקים ארוכים מאוד גם העקמומיות והסיבוב של כדור הארץ היו משנים. הכדור והתותח מוצגים גדולים בהרבה מגודלם האמיתי במגרש הזה, כדי שתוכלו לראות אותם.