מגפות ומודל SIR.

חולה אחד בקהל

מחלה מידבקת עוברת מאדם לאדם. מי שחולה נושם, משתעל או נוגע בדברים ליד אנשים אחרים, וחלק מהם נדבקים. כל אחד מהם מעביר את המחלה הלאה בתורו. אם שרשרת החולים תיגמר אחרי כמה חוליות או תעבור בעיר שלמה תלוי בעיקר בדבר אחד: בכמה אנשים, בממוצע, מדביק כל חולה.

הסצנה מתחילה בקהל של 300 איש שמסתובבים סביב מזרקה. אחד מהם, בחולצה אדומה, חולה. כל השאר, בכחול, עדיין יכולים להידבק. כשמישהו נדבק, ענן קטן של טיפות נישא אליו מהאדם שהדביק אותו, והחולצה שלו הופכת אדומה כשהענן מגיע אליו. אחרי כחמישה ימים של מחלה שבהם הוא מדבק, הוא מחלים והופך אפור: עכשיו הוא חסין ולא יכול להידבק שוב. חולצות ירוקות הן של אנשים שחוסנו לפני שהגיע החולה הראשון.

נסו: גררו את ימים לאט מהחולה הראשון אל יום 120. חולה אחד הופך לקומץ, הקומץ הופך לעשרות, ותוך שלושה שבועות רבע מהכיכר חולה בבת אחת. אחר כך האדום דועך, וההתפרצות נגמרת. עצרו בכל יום כשהסצנה בתנועה וצפו: ההדבקות האחרונות חוזרות אחת אחרי השנייה, ובכל אחת ענן טיפות עובר מחולה אל מי שהוא מדביק, והחולצה של הנדבק הופכת אדומה.

חזרה לניסוי ↑

‏R₀: כמה אנשים מדביק חולה אחד

את מספר האנשים שחולה אחד מדביק בקהל שאיש בו אינו חסין מכנים אפידמיולוגים מקדם ההדבקה הבסיסי, ומסמנים אותו $R_0$⁠ (“אר אפס”). הוא תלוי גם במחלה וגם בדרך שבה אנשים חיים: כמה בקלות עובר החיידק או הנגיף בין שני אנשים, כמה אנשים פוגש חולה בכל יום, וכמה ימים הוא מדבק.

אם $R_0$⁠ קטן מ־1, כל חולה מדביק בממוצע פחות מאדם אחד, וכל שרשרת חולים גוועת. אם $R_0$⁠ גדול מ־1, כל חולה מוחלף ביותר מחולה אחד, ומספר החולים מתרבה, בהתחלה כמו ריבית דריבית. בקהל הזה, עם $R_0 = 2.5$⁠ וחמישה ימי הדבקה, מספר החולים מוכפל בערך כל יומיים־שלושה. זו הגדילה המעריכית שמתוארת בערך גדילה מעריכית ולוגריתמים.

ההערכות המקובלות ל־$R_0$⁠ הן בערך 1.3 לשפעת עונתית, בערך 2.5 לקורונה ב־2020, ובין 12 ל־18 לחצבת, אחת המחלות המידבקות ביותר שמוכרות.

נסו: בחרו חצבת תחת R₀: כמה אנשים מדביק כל חולה. כמעט כל הקהל חולה בתוך עשרה ימים. אחר כך בחרו שפעת עונתית: ההתפרצות זוחלת במשך חודשים, אף פעם לא מחלה הרבה אנשים בבת אחת, ומדלגת על כמחצית מהקהל.

חזרה לניסוי ↑

המקרה משחק תפקיד גדול בעיקר בהתחלה. גם כש־$R_0$⁠ גדול בהרבה מ־1, החולה הראשון עלול להחלים לפני שפגש מישהו שנדבק ממנו. עם $R_0 = 2.5$⁠, חולה יחיד מצית התפרצות אמיתית רק קצת יותר ממחצית הפעמים. הסצנה תמיד מראה ריצה שבה המחלה מתפשטת, כשזה אפשרי, כי זה המקרה שכדאי לחקור.

למה להתפרצות יש שיא

מי שצופה במי מדביק את מי רואה משהו שהממוצעים מסתירים: לא כל מפגש מדביק. מפגש עם מי שכבר החלים, או עם מי שחוסן, מתבזבז. בהתחלה כמעט כולם עדיין עלולים להידבק, ולכן כל חולה מעביר את המחלה לכמעט $R_0$⁠ אנשים. ככל שההתפרצות גדלה, יותר ויותר מהאנשים שהחולה פוגש כבר חסינים.

מספר האנשים שכל חולה מדביק באמת ברגע נתון הוא מקדם ההדבקה האפקטיבי, $R$⁠. הוא שווה ל־$R_0$⁠ כפול החלק מהקהל שעדיין יכול להידבק. כל עוד $R$⁠ גדול מ־1, מספר החולים ממשיך לעלות. כשהחלק שעדיין יכול להידבק יורד ל־$1/R_0$⁠, ‏$R$⁠ יורד ל־1, ומספר האנשים שחולים בבת אחת מפסיק לעלות. הרגע הזה הוא השיא. אחריו כל חולה מדביק פחות מאדם אחד, וההתפרצות מצטמקת.

הגרף שליד הסצנה מראה את זה. העקומה הכחולה היא החלק שעדיין יכול להידבק; הקו הכחול המנוקד הוא $1/R_0$⁠. העקומה האדומה, החלק החולה, מגיעה לשיא בדיוק כשהעקומה הכחולה חוצה את הקו המנוקד.

למה היא נעצרת לפני שכולם חולים

התפרצות לא נגמרת כשכולם חלו. אחרי השיא מספר החולים יורד, אבל עדיין יש הרבה חולים, וכל אחד מהם מדביק עוד כמה בדרך למטה. לכן ההתפרצות “עוברת את המטרה”: עם $R_0 = 2.5$⁠ הקהל חסין מספיק כדי לעצור את הגדילה כשכבר 60% חלו, אבל עד שהחולה האחרון מחלים, כ־89% חלו. השאר, בערך אחד מכל עשרה, לא נדבקים בכלל. שום דבר לא מגן עליהם, חוץ מזה שלמחלה נגמרו האנשים שיכלו להעביר אותה אליהם.

העקומה האפורה מתייצבת על החלק הסופי הזה. $R_0$⁠ נמוך יותר פירושו שיא נמוך ומאוחר יותר וחלק סופי קטן יותר; עם $R_0 = 1.3$⁠ כמחצית מהקהל לא נדבקת אף פעם, ורק אחוזים בודדים חולים באותו זמן.

חסינות עדר

חיסון משנה את נקודת ההתחלה. אדם מחוסן חסין עוד לפני שהחולה הראשון מגיע, ולכן כל מפגש איתו מתבזבז מההתחלה. אם חלק המחוסנים גדול מספיק כך שפחות מ־$1/R_0$⁠ מהאנשים יכולים להידבק, ‏$R$⁠ מתחיל מתחת ל־1 וההתפרצות לא יכולה לגדול בכלל. חולה מגיע, מדביק אדם אחד או שניים, והשרשרת גוועת. זו חסינות עדר, והחלק הדרוש הוא

$p = 1 - \frac{1}{R_0}$$p =$$1 - \frac{1}{R_0}$⁠

עבור $R_0 = 2.5$⁠ זה 60% מהקהל. עבור חצבת, עם $R_0$⁠ של כ־15, זה כ־93%, ולכן שירותי הבריאות שואפים לחסן נגדה 95% מהילדים.

חסינות עדר מגינה על מי שאינם חסינים: תינוקות צעירים מדי לחיסון, אנשים שמערכת החיסון שלהם חלשה, ואנשים שהחיסון לא עבד אצלם. הם מוגנים כי האנשים שסביבם לא יכולים להעביר את המחלה, ולא כי הם עצמם מוגנים.

נסו: השאירו את R₀: כמה אנשים מדביק כל חולה על קורונה ב־2020, הזיזו את מחוסנים ל־50%, וגררו לאורך הימים. ההתפרצות עדיין קורית, אבל השיא שלה נמוך ומאוחר בהרבה; הקו האדום המקווקו בגרף הוא ההתפרצות שאותו $R_0$⁠ היה גורם בלי אף מחוסן. עכשיו העלו את מחוסנים ל־75% או יותר: קומץ אנשים נדבקים, והשרשרת גוועת. קצת מעל 60% שרשרת עוד יכולה להימשך זמן מה, כי כל חולה מוחלף בכמעט חולה אחד.

חזרה לניסוי ↑

גם חיסון מתחת לסף עוזר. כל אדם מחוסן מבטל מפגשים, ולכן השיא נמוך יותר, ופחות אנשים נדבקים בסך הכול, כולל רבים שלא חוסנו. לבתי החולים חשוב יותר מכול השיא, כי אז הכי הרבה אנשים צריכים מיטה באותו זמן.

מודל SIR

ב־1927 כתבו ויליאם קרמאק ואנדרסון מקנדריק, שעבדו באדינבורו, את המודל שהסצנה בנויה עליו. הם חילקו אוכלוסייה לשלוש קבוצות: S, הרגישים, שיכולים להידבק; I, הנגועים, שחולים ויכולים להדביק; ו־R, המחלימים, שחסינים. אנשים עוברים רק בכיוון אחד, מ־S ל־I ול־R. באוכלוסייה גדולה ומעורבבת היטב הקבוצות משתנות כך:

$\frac{dS}{dt} = -\beta \frac{S I}{N}, \qquad \frac{dI}{dt} = \beta \frac{S I}{N} - \gamma I, \qquad \frac{dR}{dt} = \gamma I$$\frac{dS}{dt} =$$-\beta \frac{S I}{N}, \qquad \frac{dI}{dt} =$$\beta \frac{S I}{N} - \gamma I, \qquad \frac{dR}{dt} =$$\gamma I$⁠

כאן $N$⁠ הוא גודל האוכלוסייה, $\beta$⁠ הוא מספר האנשים שחולה מדביק ביום בקהל שבו כולם יכולים להידבק, ו־$\gamma$⁠ הוא החלק מהחולים שמחלים בכל יום, כך ש־$1/\gamma$⁠ הוא משך המחלה. אז $R_0 = \beta / \gamma$$R_0 =$$\beta / \gamma$⁠. קבוצת הנגועים גדלה רק כל עוד $\beta S / N > \gamma$$\beta S / N >$$\gamma$⁠, וזה אותו דבר כמו $S / N > 1/R_0$⁠: כלל השיא שלמעלה, בסימנים.

הקהל בסצנה מריץ את אותם כללים אדם אחר אדם, והמקרה קובע מי פוגש את מי ומתי כל אחד מחלים. עם מאות אנשים העקומות יוצאות קרובות למה שהמשוואות חוזות, אבל כל ריצה קצת שונה, כמו התפרצויות אמיתיות.

מה המודל הזה משמיט

• קהל אמיתי לא מתערבב באופן אחיד. אנשים פוגשים בני משפחה ועמיתים לעבודה הרבה יותר מזרים. מחלות מתפשטות מהר בתוך קבוצות קרובות ולאט ביניהן, ומעט אנשים שפוגשים הרבה מאוד אחרים יכולים להניע חלק גדול מההתפרצות.
• התנהגות משתנה. כשהתפרצות מופיעה בחדשות, אנשים נשארים בבית, עוטים מסכות או פוגשים פחות אנשים, וזה מוריד את $R$⁠. המודל משאיר את ההרגלים של כולם קבועים.
• לא כל מחלה עוברת S, I, R. בהרבה מחלות יש שלב שבו האדם כבר נדבק אבל עוד לא מדבק. החסינות אחרי חלק מהמחלות דועכת, ואנשים חוזרים לקבוצת הרגישים, וכך מחלות כמו שפעת חוזרות בכל חורף. יש אנשים שאין להם תסמינים כלל, ובכל זאת הם מדביקים.
• חיסונים אינם מושלמים. חיסון אמיתי מגן על רוב האנשים, לא על כולם, וההגנה מפני חלק מהמחלות נחלשת עם הזמן. אז צריך לחסן יותר מ־$1 - 1/R_0$⁠ כדי להגיע לחסינות עדר.
• הקהל סגור. אף אחד לא נולד, מת, מגיע או עוזב. בעיר אמיתית מגיעים כל הזמן אנשים חדשים שיכולים להידבק, בלידה או בנסיעה, ולכן מחלה יכולה לחזור כעבור שנים.
• המקרה בהתחלה. הסצנה תמיד מראה התפרצות שמתפשטת, כשזה אפשרי. במציאות הרבה חולים בודדים לא מדביקים איש ואיש לא שם לב אליהם, וזו אחת הסיבות שקשה לחזות התפרצויות. הערך נגיפים מראה מה קורה בתוך תא נגוע אחד.