גדילה מעריכית ולוגריתמים.

גדילה בכפל

קפלו דף נייר לשניים, והוא בעובי של שתי שכבות. קפלו שוב: ארבע. ושוב: שמונה. כל קיפול עושה אותו דבר, הוא כופל את העובי ב־2, ובכל זאת הערימה גדלה מהר יותר ויותר. עשרה קיפולים היו נותנים 1,024 שכבות. גדילה כזאת, שבה כמות מוכפלת באותו מקדם בכל צעד, נקראת גדילה מעריכית, כי אחרי $n$⁠ צעדים הגודל הוא המקדם בחזקת $n$⁠: $2^{10}$⁠ לעשר הכפלות.

הלוח מציג את זה כשורה של עמודות שעומדות על המדף. עמודה 0 היא הכמות ההתחלתית, 1. כל עמודה מימין לה מאוחרת בצעד אחד, והיא בנויה מהעמודה שלפניה ועוד שכבה חדשה אחת, הגדילה שנוספה באותו צעד. השכבה החדשה ביותר בכל עמודה כתומה.

כל הכפלה מאפילה על כל העבר

בסולם הרגיל, הגובה פרופורציונלי לגודל. בהכפלה, הסתכלו על השכבה הכתומה בראש כל עמודה: היא גבוהה בדיוק כמו כל מה שמתחתיה. זו המשמעות של הכפלה. אם יש לכם 512 ואתם מכפילים, הצעד מוסיף עוד 512, כמו כל הצעדים הקודמים יחד.

לכן במשך זמן רב נדמה שכמעט שום דבר לא קורה. אחרי חמש הכפלות הערימה היא רק 32, שבריר לעומת ה־1,024 שאליהם היא מגיעה חמישה צעדים אחר כך. רוב הגדילה נמצאת תמיד בצעדים האחרונים, ולכן גדילה מעריכית מפתיעה אנשים: כשחלף חצי מהזמן, הערימה עוד רחוקה מאוד מחצי מגודלה.

אותו דבר נכון לכל מקדם גדילה, רק בשיעור אחר. ב־$\times 3$⁠ כל צעד מוסיף פעמיים את הערימה שמתחתיו; ב־$\times 1.5$⁠ הוא מוסיף חצי ממנה. גם ב־$\times 1.1$⁠, $10\%$⁠ קבועים בכל צעד, התוספות הולכות וגדלות, והעקומה שעוברת דרך ראשי העמודות מתעקלת כלפי מעלה.

לוגריתמים סופרים כפלים

לוגריתם עונה על השאלה ההפוכה: כמה פעמים צריך לכפול? הלוגריתם לפי בסיס 10 של 1,000 הוא 3, כי $10 \times 10 \times 10 = 1{,}000$$10 \times 10 \times 10 =$$1{,}000$⁠. הלוגריתם לפי בסיס 10 של 2 הוא בערך 0.301: עשר הכפלות נותנות 1,024, קרוב מאוד לשלוש פעמים כפל בעשר, ולכן הכפלה אחת שווה בערך שלוש עשיריות של כפל אחד בעשר.

ג’ון נייפייר פרסם את לוחות הלוגריתמים הראשונים ב־1614, והנרי בריגס עיבד אותם זמן קצר אחר כך לבסיס 10. היתרון שלהם היה מעשי. לוגריתמים הופכים כפל לחיבור, כי הלוגריתם של מכפלה הוא סכום הלוגריתמים, ולכן אסטרונומים ונווטים יכלו לכפול מספרים ארוכים בעזרת חיבור של ערכים מתוך לוח.

למה סולם לוגריתמי יוצר קו ישר

סולם לוגריתמי מרווח מספרים לפי הלוגריתמים שלהם ולא לפי גודלם. עליו, 1, 10, 100 ו־1,000 נמצאים במרווחים שווים, כי כל אחד מהם גדול פי עשרה מקודמו. כל שני מספרים שהיחס ביניהם זהה נמצאים באותו מרחק זה מזה.

נסו: הזיזו את הגדילה בכל צעד ל־×2, הכפלה, ואז בחרו סולם לוגריתמי תחת מעבר לסולם לוגריתמי. כל השכבות נעשות באותו גובה, והעקומה הוורודה מתיישרת לקו. אחר כך הזיזו את הגדילה בכל צעד ל־×3 ול־×1.1, וראו את הקו משנה את נטייתו.

חזרה לניסוי ↑

כל צעד כופל באותו מקדם, ולכן בסולם לוגריתמי כל צעד מטפס באותו גובה: הלוגריתם של מקדם הגדילה. כפל קבוע הופך לקו ישר, והתלילות של הקו הזה היא הלוגריתם של מקדם הגדילה. ב־$\times 2$⁠ כל צעד מטפס 0.301 של חזקת עשר; ב־$\times 3$⁠, 0.477; ב־$\times 1.1$⁠, רק 0.041. לקרוא קצב גדילה מגרף לוגריתמי זה פשוט למדוד שיפוע.

זו הסיבה שמדענים משרטטים גדילה בסולמות לוגריתמיים. קטע ישר פירושו גדילה מעריכית קבועה, קו שמתעקל ומשתטח פירושו שהגדילה מאטה, וקו תלול בהרבה פירושו שמקדם הכפל עלה.

איפה מופיעים סולמות לוגריתמיים

מדידות יומיומיות רבות הן לוגריתמיות, כי הדברים שהן מודדות משתרעים על טווחים עצומים. בסולם הדציבלים של הקול, כל 10 דציבלים פירושם פי עשרה בעוצמת הקול. כל שלב למטה בסולם ה־pH פירושו פי עשרה יוני מימן, ולכן במיץ לימון, ב־pH 2 בערך, יש בערך פי מאה אלף יוני מימן מאשר במים טהורים ב־pH 7. כל מספר שלם למעלה בסולם המגניטודה של רעידות אדמה משחרר בערך פי 32 אנרגיה. סרגל חישוב כופל בעזרת החלקה של שני סולמות לוגריתמיים זה לאורך זה: הוא מחבר אורכים כדי לכפול מספרים.

מה המודל הזה משמיט

גדילה אמיתית אף פעם לא ממשיכה להיכפל לנצח: לחיידקים נגמר המזון, מהחסכונות מושכים כסף, למגפות נגמרים האנשים שאפשר להדביק, והעקומה משתטחת. הלוח גדל בצעדים שלמים; גדילה שמצטברת ברציפות מתוארת במקום זאת בעזרת המספר $e$⁠ והלוגריתמים הטבעיים.

שני הסולמות מותאמים כך שהעמודה הגבוהה ביותר מגיעה לראש הלוח. לסולם לוגריתמי אין אפס, ולכן הלוח מציב את 1 קצת מעל המדף ונותן לשכבת ההתחלה עובי קבוע וקטן שם. בסולם הרגיל אף שכבה לא מצוירת דקה ממינימום מסוים, ולכן העמודות הראשונות של גדילה מהירה מעט גבוהות מגודלן האמיתי; המספרים שמודפסים מעליהן מדויקים, מעוגלים לשלוש ספרות משמעותיות.