לוגריתמים.

שלב 1 מתוך 6

כמה פעמים?

חזקה עונה על השאלה “מה יוצא אם כופלים את $2$⁠ בעצמו שלוש פעמים?”: $2^3 = 8$⁠. לוגריתם שואל את השאלה ההפוכה: “כמה פעמים צריך לכפול את $2$⁠ בעצמו כדי להגיע ל־$8$⁠?” כותבים $\log_2 8$⁠, וקוראים “לוגריתם של $8$⁠ לפי בסיס $2$⁠”. הבסיס הוא המספר שכופלים בו, והתשובה היא המעריך.

כך $\log_2 8 = 3$⁠, כי $2^3 = 8$⁠.

הגדילה בכל צעד נעולה על הכפלה. מספר הצעדים על הלוח הוא בדיוק הלוגריתם לפי בסיס $2$⁠ של הערך שמעל העמודה האחרונה.

שלב 2 מתוך 6

הסולם הלוגריתמי

בסולם הרגיל, גובה שווה הוא כמות שווה: המרחק מ־$0$⁠ ל־$100$⁠ שווה למרחק מ־$900$⁠ ל־$1000$⁠. בסולם לוגריתמי, גובה שווה הוא פי אותו מספר: המרחק מ־$1$⁠ ל־$10$⁠ שווה למרחק מ־$10$⁠ ל־$100$⁠ ומ־$100$⁠ ל־$1000$⁠. גובה של נקודה בסולם כזה הוא הלוגריתם של הערך שלה. נבאו איך תיראה עקומת ההכפלה כשתבחרו סולם לוגריתמי תחת מבט פנימה.

שלב 3 מתוך 6

חזקות של עשר

לוגריתם נפוץ במיוחד הוא לפי בסיס $10$⁠: $\log_{10} 100 = 2$⁠, כי $10^2 = 100$⁠. הוא סופר כמה ספרות יש למספר, פחות אחת: $\log_{10}$⁠ של מספר בן ארבע ספרות הוא בין $3$⁠ ל־$4$⁠. על הלוח, הקווים של $1, 10, 100, 1000$⁠ במרחקים שווים זה מזה. עברו במבט פנימה בין סולם רגיל לסולם לוגריתמי וראו איך הם נפרשים.

שלב 4 מתוך 6

כל צעד מטפס אותו גובה

בסולם הלוגריתמי כל השכבות באותו גובה, כי כל צעד הוא כפל באותו מקדם. הלוח כותב כמה חזקות של עשר מטפס כל צעד: $\log_{10} 3 \approx 0.477$$\log_{10} 3 \approx$$0.477$⁠. ארבעה צעדים מטפסים פי ארבעה מזה, ולכן $\log_{10} 3^4 = 4 \cdot \log_{10} 3$$\log_{10} 3^4 =$$4 \cdot \log_{10} 3$⁠. זה הכלל: הלוגריתם של חזקה הוא המעריך כפול הלוגריתם של הבסיס.

שלב 5 מתוך 6

לוגריתם של מכפלה

שתי שכבות זו על זו הן שני כפלים ברצף, ובסולם הלוגריתמי הגבהים שלהן מתחברים. זה כלל המכפלה, הסיבה שהמציאו לוגריתמים: הם הופכים כפל לחיבור.

$\log(a \cdot b) = \log a + \log b$$\log(a \cdot b) =$$\log a + \log b$⁠

שנו את הגדילה בכל צעד ואת מספר הצעדים, ובדקו שכל צעד מטפס אותו גובה ושהגבהים מצטברים.

שלב 6 מתוך 6

לפתור בעזרת לוגריתם

בעזרת הכלל אפשר לענות על שאלות “כמה פעמים?” שלא מגיעים אליהן בספירה. מיליון הוא $10^6$⁠, כלומר $6$⁠ חזקות של עשר, וכל הכפלה מטפסת $\log_{10} 2 \approx 0.301$$\log_{10} 2 \approx$$0.301$⁠ מהן. הלוח מגיע רק עד $12$⁠ צעדים, אבל החשבון ממשיך הלאה.